Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 53
где ϕ = arg z, −π < ϕ < π (см. пример 6).
Вместо того, чтобы рассматривать бесконечное число регулярных
функций (30) в одной области D, возьмем бесконечное число идентич-
ных экземпляров этой области. Обозначим эти области D
k
, k = 0,
±1, ±2, . . . , и будем считать, что в области D
k
задана регулярная
функцияf
k
(z). Пусть γ
+
k
— верхний, γ
−
k
— нижний берега разреза
плоскости D
k
(рис. 27).
0
D
k
γ
+
k
γ
−
k
0
Рис. 27 Рис. 28
Склеим области D
k
(“листы”) в одну поверхность так, чтобы на
этой поверхности функция Ln z была однозначна и непрерывна. По
формуле (30) получаем
f
k
(x)|
γ
+
k
= f
k+1
(x)|
γ
−
k+1
= ln |x| + π(2k + 1), x < 0.
Поэтому склеим верхний берег разреза γ
+
k
с нижним берегом раз-
реза γ
−
k+1
, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
На построенной “винтовой” поверхности (рис. 28) функция Ln z
однозначна и регулярна при z 6= 0 (по лемме об устранимой особенно-
сти). Эта поверхность называется римановой поверхностью функции
Ln z.
A
A
П р и м е р 14. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по лучу (−∞,0] ( рис. 17). В этой области функция
√
z распадается
на регулярные ветви
f
1
(z) =
p
|z|e
iϕ
2
и f
2
(z) = −
p
|z|e
iϕ
2
, (31)
где ϕ = arg z, −π < ϕ < π (см. пример 6).
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций            53


где ϕ = arg z, −π < ϕ < π (см. пример 6).
   Вместо того, чтобы рассматривать бесконечное число регулярных
функций (30) в одной области D, возьмем бесконечное число идентич-
ных экземпляров этой области. Обозначим эти области Dk , k = 0,
±1, ±2, . . . , и будем считать, что в области Dk задана регулярная
функцияfk (z). Пусть γk+ — верхний, γk− — нижний берега разреза
плоскости Dk (рис. 27).


                              Dk
              γk+
                        0                                         0
              γk−


                    Рис. 27                             Рис. 28

   Склеим области Dk (“листы”) в одну поверхность так, чтобы на
этой поверхности функция Ln z была однозначна и непрерывна. По
формуле (30) получаем

         fk (x)|γ + = fk+1 (x)|γ −       = ln |x| + π(2k + 1),    x < 0.
                k                  k+1


   Поэтому склеим верхний берег разреза γk+ с нижним берегом раз-
      −
реза γk+1 , k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
   На построенной “винтовой” поверхности (рис. 28) функция Ln z
однозначна и регулярна при z 6= 0 (по лемме об устранимой особенно-
сти). Эта поверхность называется римановой поверхностью функции
Ln z. A

   П р и м е р 14. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
                                                   √
по лучу (−∞,0] (рис. 17). В этой области функция z распадается
на регулярные ветви
                       p    iϕ             p    iϕ
               f1 (z) = |z|e 2 и f2 (z) = − |z|e 2 ,         (31)
где ϕ = arg z, −π < ϕ < π (см. пример 6).

Страницы