Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

54 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
Возьмем два экземпляра D
1
и D
2
области и будем считать, что
функция f
k
(z) определена в области D
k
, k = 1,2. Пусть γ
+
k
— верхний,
γ
−
k
— нижний берега разреза плоскости D
k
.
По формуле (31) получаем, что при x 6 0
f
1
(x)|
γ
+
1
= f
2
(x)|
γ
−
2
= i
p
|x|, f
1
(x)|
γ
−
1
= f
2
(x)|
γ
+
2
= −i
p
|x|.
0
0
Рис. 29 Рис. 30
Поэтому нужно склеить γ
+
1
с γ
−
2
и γ
−
1
с γ
+
2
(крест-накрест).
Получится риманова поверхность функции
√
z с самопересечением
(рис. 29). Но можно сначала повернуть плоскость D
2
вокруг дей-
ствительной оси на 180
◦
, а затем склеить γ
+
1
с γ
−
2
и γ
−
1
с γ
+
2
. Тогда
получится риманова поверхность функции
√
z без самопересечения
(рис. 30). На этой поверхности функция
√
z однозначна и регулярна
при z 6= 0 (по лемме об устранимой особенности).
A
A
§6. Особые точки аналитических функций
Общее определение особой точки аналитической функции является
довольно сложным и не будет детально рассматриваться в этом курсе.
Однако, для знакомства сформулируем определение, приведенное в
[1].
Пусть аналитическая функция F (z) порождена исходным элемен-
том f
0
(z) в точке z
0
и кривая γ
1
с началом в точке z
0
и концом в точке
z
1
такова, что элемент f
0
(z) можно аналитически продолжить вдоль
54        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

    Возьмем два экземпляра D1 и D2 области и будем считать, что
функция fk (z) определена в области Dk , k = 1,2. Пусть γk+ — верхний,
γk− — нижний берега разреза плоскости Dk .
    По формуле (31) получаем, что при x 6 0

                                p                                   p
     f1 (x)|γ + = f2 (x)|γ − = i |x|,   f1 (x)|γ − = f2 (x)|γ + = −i |x|.
            1           2                      1           2




                              0                            0




                  Рис. 29                              Рис. 30

   Поэтому нужно склеить γ1+ с γ2− и γ1− с γ2+ (крест-накрест).
                                             √
Получится риманова поверхность функции z с самопересечением
(рис. 29). Но можно сначала повернуть плоскость D2 вокруг дей-
ствительной оси на 180◦ , а затем склеить γ1+ с γ2− и γ1− с γ2+ . Тогда
                                             √
получится риманова поверхность функции z без самопересечения
                                        √
(рис. 30). На этой поверхности функция z однозначна и регулярна
при z 6= 0 (по лемме об устранимой особенности). A

        § 6. Особые точки аналитических функций
     Общее определение особой точки аналитической функции является
довольно сложным и не будет детально рассматриваться в этом курсе.
Однако, для знакомства сформулируем определение, приведенное в
[1].
     Пусть аналитическая функция F (z) порождена исходным элемен-
том f0 (z) в точке z0 и кривая γ1 с началом в точке z0 и концом в точке
z1 такова, что элемент f0 (z) можно аналитически продолжить вдоль

Страницы