Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 56 стр.

56        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


чается новый элемент f2 (z) 6≡ f1 (z), т.е.
                         f1 (z) → f2 (z) 6≡ f1 (z),
то точка z0 называется точкой ветвления функции F (z).
    Точка ветвления может быть или логарифмической, или алгебра-
ической (пример 4, §2; пример 3, §3).
    Л о г а р и ф м и ч е с к и е т о ч к и в е т в л е н и я. Пусть
в рассматриваемой ситуации при каждом следующем обороте вокруг
точки z0 в положительном и отрицательном направлениях в точке z1
получаются новые элементы, отличные от всех предыдущих. Тогда
точка z0 называется логарифмической точкой ветвления функции
F (z).
    В этом случае функция F (z) в каждой точке z1 ∈ K0 имеет бес-
конечное множество различных элементов, однако значения этих эле-
ментов в точке z1 могут быть одинаковыми. Подробнее: в этом слу-
чае функция F (z) “почти” в каждой точке z1 ∈ K0 имеет бесконечное
множество различных значений. Здесь и далее слово “почти” озна-
чает, что могут быть исключительные точки, в которых функция
F (z) имеет конечное число значений. Таких исключительных точек
может быть конечное число или бесконечное множество, но предель-
ная точка этих точек не может принадлежать кольцу K0 .
   П р и м е р 2.
1) Для функции (z 2 − 1) Ln z, аналитичной в кольце K0 : 0 < z <
   < ∞, точки z = 0 и z = ∞ являются логарифмическими точками
   ветвления. Эта функция в каждой точке z ∈ K0 , z 6= ±1 имеет бес-
   конечное число различных значений, а в точках z = ±1 — только
   одно значение, равное нулю.
2) Функция sin z Ln z в каждой точке z того же кольца K0 , где z 6= πk,
   k = ±1,±2, . . . , имеет бесконечное множество различных значений,
   а в точках zk = πk, k = ±1,±2, . . . — только одно значение, равное
   нулю. Предельная точка z = ∞ точек zk не принадлежит кольцу
   K0 . 
A
     Алгебраические               точки         в е т в л е н и я. Пусть в