Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6 Особые точки аналитических функций 57
рассматриваемой ситуации после n оборотов (n > 2) вокруг точки z
0
в положительном направлении получается
f
1
(z) → f
2
(z) → . . . → f
n
(z) → f
n+1
(z) ≡ f
1
(z),
где все элементы f
1
(z), f
2
(z), . . . , f
n
(z) различны. Тогда точка z
0
на-
зывается алгебраической точкой ветвления функции F (z) порядка n.
В этом случае функция F (z) в каждой точке z
1
∈ K
0
имеет ровно n
различных элеме нтов, однако значения некоторых из этих элементов
в самой точке z
1
могут быть одинаковыми.
П р и м е р 3. Для функции sin
1
z
n
√
z, где n — натуральное
число, n > 2, аналитической в кольце K
0
: 0 < |z| < ∞, точки z = 0 и
z = ∞ являются алгебраическими точками ветвления порядка n. Эта
функция в каждой точке z ∈ K
0
, z 6=
1
πk
, k = ±1, ± 2, . . . , принимает
ровно n различных значений, а в точках z
k
=
1
πk
, k = ±1, ± 2, . . . ,
только одно значение, равное нулю.
Справедлива следующая теорема
Теорема 1. Если z
0
6= ∞ — алгебраическая точка ветвления по-
рядка n аналитической в кольце K
0
: 0 < |z − z
0
| < R функции F (z),
то функцию F (z) можно представить в виде ряда
F (z) =
∞
X
k=−∞
C
k
(z − z
0
)
k
n
,
сходящегося к функции F (z) во всем кольце K
0
.
Если z
0
= ∞ — алгебраическая точка ветвления порядка n ана-
литической в кольце K
0
: R < |z| < ∞ функции F (z), то эту функцию
можно представить в виде ряда
F (z) =
∞
X
k=−∞
C
k
z
k
n
,
сходящегося к функции F (z) во всем кольце K
0
.
Такие ряды по дробным степеням называют рядами Пюизе.
                § 6 Особые точки аналитических функций                         57


рассматриваемой ситуации после n оборотов (n > 2) вокруг точки z0
в положительном направлении получается
             f1 (z) → f2 (z) → . . . → fn (z) → fn+1 (z) ≡ f1 (z),
где все элементы f1 (z), f2 (z), . . . , fn (z) различны. Тогда точка z0 на-
зывается алгебраической точкой ветвления функции F (z) порядка n.
    В этом случае функция F (z) в каждой точке z1 ∈ K0 имеет ровно n
различных элементов, однако значения некоторых из этих элементов
в самой точке z1 могут быть одинаковыми.
                                                1√
    П р и м е р 3. Для функции sin n z, где n — натуральное
                                                z
число, n > 2, аналитической в кольце K0 : 0 < |z| < ∞, точки z = 0 и
z = ∞ являются алгебраическими точками ветвления порядка n. Эта
                                              1
функция в каждой точке z ∈ K0 , z 6=             , k = ±1, ± 2, . . . , принимает
                                             πk
                                                          1
ровно n различных значений, а в точках zk =                 , k = ±1, ± 2, . . . ,
                                                         πk
только одно значение, равное нулю.
    Справедлива следующая теорема
   Теорема 1. Если z0 6= ∞ — алгебраическая точка ветвления по-
рядка n аналитической в кольце K0 : 0 < |z − z0 | < R функции F (z),
то функцию F (z) можно представить в виде ряда
                             ∞
                            X                k
                    F (z) =     Ck (z − z0 ) n ,
                                  k=−∞
сходящегося к функции F (z) во всем кольце K0 .
   Если z0 = ∞ — алгебраическая точка ветвления порядка n ана-
литической в кольце K0 : R < |z| < ∞ функции F (z), то эту функцию
можно представить в виде ряда
                                  ∞
                                 X        k
                        F (z) =      Ck z n ,
                                      k=−∞
сходящегося к функции F (z) во всем кольце K0 .
   Такие ряды по дробным степеням называют рядами Пюизе.

Страницы