Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6 Особые точки аналитических функций 59
ность точки z = ∞, не содержащую точек z = 0 и z = 4. Выберем в
точке z
2
= 16 ∈ K
2
элемент g
2
(z) функции
√
z такой, что g
2
(16) = 4.
Тогда элемент f
2
(z) =
1
2 + g
2
(z)
функции F (z) порождает аналитиче-
скую ветвь F
2
(z) (единственную с точностью до исходного элемента)
функции F (z) в кольце K
2
.
При аналитическом продолжении элемента f
2
(z) вдоль окружно-
сти |z| = 16 после первого оборота (вокруг точки z = ∞) получаем
f
2
(z) →
1
2 − g
2
(z)
6≡ f
2
(z),
после второго оборота
1
2 − g
2
(z)
→
1
2 + g
2
(z)
≡ f
2
(z).
Следовательно, точка z = ∞ является алгебраической точкой ветвле-
ния второго порядка функции F
2
(z) (и функции F (z)).
3) Для исследования особой точки z = 4 воспользуемся тем, что
в круге K : |z − 4| < 2 функция
√
z распадается на две регулярные
ветви g
3
(z) и g
4
(z) = −g
3
(z) такие, что g
3
(4) = 2,g
4
(4) = −2. По-
этому функция F (z) в кольце K
3
: 0 < |z − 4| < 2 распадается на две
регулярные ветви f
3
(z) =
1
2 + g
3
(z)
и f
4
(z) =
1
2 + g
4
(z)
.
Функция f
3
(z) регулярна во вс ем круге K, в частности, в точке
z = 4, так как 2 + g
3
(z) 6= 0 при z ∈ K.
Для функции f
4
(z) точка z = 4 является полюсом, так как знаме-
натель 2 + g
4
(4) = 0. Для нахождения порядка этого полюса найдем
кратность нуля знаменателя 2 + g
4
(z). Находим: (2 + g
4
(z))
0
|
z=4
=
=
1
2z
g
4
(z)|
z=4
= −
1
4
6= 0. Следовательно, z = 4 — полюс функции
f
4
(z) — первого порядка.
Итак, в проколотой окрестности точки z = 4 функция F (z) рас-
падается на две регулярные ветви, для одной из которых z = 4 —
регулярная точка, а для другой точка z = 4 — полюс первого по-
рядка.
A
A
              § 6 Особые точки аналитических функций                59

ность точки z = ∞, не содержащую точек z = 0 и z = 4. Выберем в
                                                   √
точке z2 = 16 ∈ K2 элемент g2 (z) функции z такой, что g2 (16) = 4.
                              1
Тогда элемент f2 (z) =               функции F (z) порождает аналитиче-
                         2 + g2 (z)
скую ветвь F2 (z) (единственную с точностью до исходного элемента)
функции F (z) в кольце K2 .
    При аналитическом продолжении элемента f2 (z) вдоль окружно-
сти |z| = 16 после первого оборота (вокруг точки z = ∞) получаем
                                       1
                        f2 (z) →              6≡ f2 (z),
                                  2 − g2 (z)
после второго оборота
                          1              1
                                 →               ≡ f2 (z).
                      2 − g2 (z)     2 + g2 (z)
Следовательно, точка z = ∞ является алгебраической точкой ветвле-
ния второго порядка функции F2 (z) (и функции F (z)).
    3) Для исследования особой точки z = 4 воспользуемся тем, что
                                      √
в круге K : |z − 4| < 2 функция z распадается на две регулярные
ветви g3 (z) и g4 (z) = −g3 (z) такие, что g3 (4) = 2,g4 (4) = −2. По-
этому функция F (z) в кольце K3 : 0 < |z − 4| < 2 распадается на две
                                  1                        1
регулярные ветви f3 (z) =                и f4 (z) =              .
                              2 + g3 (z)              2 + g4 (z)
    Функция f3 (z) регулярна во всем круге K, в частности, в точке
z = 4, так как 2 + g3 (z) 6= 0 при z ∈ K.
    Для функции f4 (z) точка z = 4 является полюсом, так как знаме-
натель 2 + g4 (4) = 0. Для нахождения порядка этого полюса найдем
кратность нуля знаменателя 2 + g4 (z). Находим: (2 + g4 (z))0 |z=4 =
     1               1
=      g4 (z)|z=4 = − 6= 0. Следовательно, z = 4 — полюс функции
    2z               4
f4 (z) — первого порядка.
    Итак, в проколотой окрестности точки z = 4 функция F (z) рас-
падается на две регулярные ветви, для одной из которых z = 4 —
регулярная точка, а для другой точка z = 4 — полюс первого по-
рядка. A

Страницы