Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

60 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
З а м е ч а н и е 1. Типичная ошибка при исследовании особых
точек функции F (z) =
1
2 +
√
z
такова: “Так как lim
z→0
1
2 +
√
z
=
1
2
, то
z = 0 — устранимая особая точка функции F (z).” (?) Это утвержде-
ние неверно, так как устранимая особая точка — это изолированная
особая точка однозначной регулярной функции, а функция F (z) не
является однозначной.
П р и м е р 5. Исследуем особые точки функции F (z) =
1
Ln z
. Эта
функция аналитична во всей расширенной комплексной плоскости с
выколотыми точками 0,∞,1.
A
A
1) Пусть K
1
: 0 < |z| < 1, g
1
(z) — элемент функции Ln z в точке
z
1
=
1
2
такой, что g
1
1
2
= −ln 2. Тогда f
1
(z) =
1
g
1
(z)
— элемент
функции F (z) в точке z
1
=
1
2
.
При аналитическом продолжении элемента f
1
(z) вдоль окружно-
сти |z| =
1
2
после каждого оборота вокруг точки z = 0 получается
новый
элемент:
1
g
1
(z)
→
1
g
1
(z) + 2πi
→
1
g
1
(z) + 4πi
→ . . . .
Следовательно, z = 0 — логарифмическая точка ветвления функ-
ции F (z).
2) Аналогично доказывается, что точка z = ∞ также является
логарифмической точкой ветвления функции F (z).
3) В круге K : |z −1| < 1 функция Ln z распадается на регулярные
ветви g
k
(z) = g
0
(z) + 2πki, k = 0, ±1, ± 2, . . . , где g
0
(1) = 0. Поэтому
функция F (z) в кольце K
2
: 0 < |z −1| < 1 распадается на регулярные
ветви f
k
(z) =
1
g
k
(z)
, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
Если целое число k 6= 0, то функция f
k
(z) регулярна во всем круге
K, в частности, в точке z = 1, так как g
k
(z) 6= 0 при z ∈ K.
Для функции f
0
(z) точка z = 1 является полюсом, так как g
0
(1) =
60         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

   З а м е ч а н и е 1. Типичная ошибка при исследовании особых
                         1                            1      1
точек функции F (z) =     √ такова: “Так как lim       √ = , то
                       2+ z                    z→0 2 + z     2
z = 0 — устранимая особая точка функции F (z).” (?) Это утвержде-
ние неверно, так как устранимая особая точка — это изолированная
особая точка однозначной регулярной функции, а функция F (z) не
является однозначной.
                                                          1
   П р и м е р 5. Исследуем особые точки функции F (z) =      . Эта
                                                         Ln z
функция аналитична во всей расширенной комплексной плоскости с
выколотыми точками 0,∞,1.
A 1) Пусть K1 : 0 <|z| < 1, g1 (z) — элемент функции Ln z в точке
       1                  1                                 1
z1 =     такой, что g1        = − ln 2. Тогда f1 (z) =           — элемент
       2                  2                               g1 (z)
                          1
функции F (z) в точке z1 = .
                          2
   При аналитическом продолжении элемента f1 (z) вдоль окружно-
          1
сти |z| =   после каждого оборота вокруг точки z = 0 получается
          2
новый
элемент:
                 1              1                 1
                      →                →                 → ... .
               g1 (z)     g1 (z) + 2πi      g1 (z) + 4πi
   Следовательно, z = 0 — логарифмическая точка ветвления функ-
ции F (z).
   2) Аналогично доказывается, что точка z = ∞ также является
логарифмической точкой ветвления функции F (z).
   3) В круге K : |z − 1| < 1 функция Ln z распадается на регулярные
ветви gk (z) = g0 (z) + 2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . . . , где g0 (1) = 0. Поэтому
функция F (z) в кольце K2 : 0 < |z − 1| < 1 распадается на регулярные
                  1
ветви fk (z) =        , k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
               gk (z)
   Если целое число k 6= 0, то функция fk (z) регулярна во всем круге
K, в частности, в точке z = 1, так как gk (z) 6= 0 при z ∈ K.
   Для функции f0 (z) точка z = 1 является полюсом, так как g0 (1) =

Страницы