Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

62 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
литична во всей расширенной комплексной плоскости с выколотыми
точками 0,2,∞.
A
A
1) Пусть K
1
: 0 < |z| < 2,f
1
(z) = g
1
(z)h
1
(z) — элемент функции
F (z) в точке z
1
= 1 ∈ K
1
, где g
1
(z),h
1
(z) — некоторые элементы
функций соответственно
3
√
z
2
,
3
√
2 − z в точке z
1
= 1.
При аналитическом продолжении элемента f
1
(z) вдоль окружно-
сти |z| = 1 после трех оборотов вокруг точки z = 0 получаем:
f
1
(z) = g
1
(z)h
1
(z) →
h
e
4πi
3
g
1
(z)
i
h
1
(z) →
h
e
8πi
3
g
1
(z)
i
h
1
(z) →
→
h
e
12πi
3
g
1
(z)
i
h
1
(z) ≡ f
1
(z).
Следовательно, z = 0 — алгебраическая точка ветвления третьего
порядка функции F (z).
2) Аналогично доказывается, что z = 2 также алгебраическая
точка ветвления третьего порядка функции F (z).
3) В кольце 2 < |z| < ∞ функция F (z) распадается на три регу-
лярные ветви f
k
(z) = zh
k
(z), где функции h
k
(z) регулярны в точке
z = ∞ и h
k
(∞) = e
π
3
(1+2k)i
, k = 0,1,2 (см. пример 12, §5). Следова-
тельно, для каждой из этих ветвей точка z = ∞ является полюсом
первого порядка.
A
A
Рассмотрим чуть более сложный пример.
П р и м е р 8. Исследуем особые точки аналитической функции
F (z) =
√
z +
√
z −2. (1)
A
A
Исходный элемент этой функции выберем, например, в точке z
0
=
= 1. В этой точке функция
√
z имеет два элемента g
0
(z), g
1
(z) такие,
что g
0
(1) = 1, g
1
(1) = −1, поэтому g
1
(z) = −g
0
(z). Функция
√
z − 2 в
точке z
0
= 1 также имеет два элемента h
0
(z), h
1
(z) такие, что h
0
(1) =
= i, h
1
(1) = −i, поэтому h
1
(z) = −h
0
(z).
Пусть f
0
(z) = g
0
(z) + h
0
(z) — исходный элемент функции F (z).
Допустимыми кривыми для элемента f
0
(z) являются все кривые с
началом в точке z
0
= 1, не проходящие через точки z = 0 и z = 2, так
62         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

литична во всей расширенной комплексной плоскости с выколотыми
точками 0,2,∞.
 A 1) Пусть K1 : 0 < |z| < 2,f1 (z) = g1 (z)h1 (z) — элемент функции
F (z) в точке z1 = 1 ∈ K    √ 1 , где g1 (z),h1 (z) — некоторые элементы
                             3 2 √
функций соответственно z , 3 2 − z в точке z1 = 1.
    При аналитическом продолжении элемента f1 (z) вдоль окружно-
сти |z| = 1 после трех оборотов вокруг точки z = 0 получаем:
                            h 4πi       i           h 8πi   i
     f1 (z) = g1 (z)h1 (z) → e 3 g1 (z) h1 (z) → e 3 g1 (z) h1 (z) →
                            h 12πi        i
                           → e 3 g1 (z) h1 (z) ≡ f1 (z).
Следовательно, z = 0 — алгебраическая точка ветвления третьего
порядка функции F (z).
   2) Аналогично доказывается, что z = 2 также алгебраическая
точка ветвления третьего порядка функции F (z).
   3) В кольце 2 < |z| < ∞ функция F (z) распадается на три регу-
лярные ветви fk (z) = zhk (z), где функции hk (z) регулярны в точке
                    π
z = ∞ и hk (∞) = e 3 (1+2k)i , k = 0,1,2 (см. пример 12, §5). Следова-
тельно, для каждой из этих ветвей точка z = ∞ является полюсом
первого порядка. A
   Рассмотрим чуть более сложный пример.

     П р и м е р 8. Исследуем особые точки аналитической функции
                               √    √
                        F (z) = z + z − 2.                    (1)

 A Исходный элемент этой функции выберем, например, в точке z0 =
                              √
= 1. В этой точке функция z имеет два элемента g0 (z), g1 (z) √ такие,
что g0 (1) = 1, g1 (1) = −1, поэтому g1 (z) = −g0 (z). Функция z − 2 в
точке z0 = 1 также имеет два элемента h0 (z), h1 (z) такие, что h0 (1) =
= i, h1 (1) = −i, поэтому h1 (z) = −h0 (z).
    Пусть f0 (z) = g0 (z) + h0 (z) — исходный элемент функции F (z).
Допустимыми кривыми для элемента f0 (z) являются все кривые с
началом в точке z0 = 1, не проходящие через точки z = 0 и z = 2, так

Страницы