Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

64 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
Следовательно, z = 0 — алгебраическая точка ветвления второго
порядка функции F
1
(z).
Заметим, что функция F (z) в каждой точке z 6= 0, z 6= 2 имеет
четыре различных элемента, в частности, в точке z
0
= 1 четыре эле-
мента ±g
0
(z) ± h
0
(z). Так элемент g
0
(z) − h
0
(z) получается в ре-
зультате аналитического продолжения элемента f
0
(z) = g
0
(z) + h
0
(z)
вдоль окружности γ
1
: |z −2| = 1 (рис. 31), а элемент −g
0
(z)−h
0
(z) —
в результате аналитического продолжения элемента f
0
(z) по кривой
γγ
1
.
Пусть F
2
(z) — аналитическая в кольце D
1
функция с исходным
элементом f
2
(z) = g
0
(z) − h
0
(z), заданным в точке z
0
= 1 значением
f
2
(1) = 1 − i. Так же, как и для функции F
1
(z) доказывается, что
z = 0 — алгебраическая точка ветвления второго порядка функции
F
2
(z).
Итак, в кольце D
1
аналитическая функция F (z) распадается на
две различные аналитические ветви F
1
(z) и F
2
(z), для каждой из
которых z = 0 — алгебраическая точка ветвления второго порядка.
2) Аналогично доказывается, что:
в кольце 0 < |z −2| < 2 функция F (z) распадается на две аналити-
ческие ветви, для каждой из которых z = 2 — алгебраическая точка
ветвления второго порядка;
в кольце 2 < |z| < ∞ функция F (z) распадается на две аналити-
ческие ве тви, для каждой из которых z = ∞ — алгебраическая точка
ветвления второго порядка.
A
A
2. Граничные особые точки регулярных функций
Определение 2. Пусть функция f (z) регулярна в области D,
границей которой является простая кривая Γ. Точка z
0
∈ Γ называ-
ется регулярной граничной точкой функции f (z), если функцию f (z)
можно аналитически продолжить в точку z
0
по кривой γ с концом в
точке z
0
, лежащей в области D, за исключением точки z
0
. В против-
64         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

   Следовательно, z = 0 — алгебраическая точка ветвления второго
порядка функции F1 (z).
    Заметим, что функция F (z) в каждой точке z 6= 0, z 6= 2 имеет
четыре различных элемента, в частности, в точке z0 = 1 четыре эле-
мента ±g0 (z) ± h0 (z). Так элемент g0 (z) − h0 (z) получается в ре-
зультате аналитического продолжения элемента f0 (z) = g0 (z) + h0 (z)
вдоль окружности γ1 : |z −2| = 1 (рис. 31), а элемент −g0 (z)−h0 (z) —
в результате аналитического продолжения элемента f0 (z) по кривой
γγ1 .
    Пусть F2 (z) — аналитическая в кольце D1 функция с исходным
элементом f2 (z) = g0 (z) − h0 (z), заданным в точке z0 = 1 значением
f2 (1) = 1 − i. Так же, как и для функции F1 (z) доказывается, что
z = 0 — алгебраическая точка ветвления второго порядка функции
F2 (z).
   Итак, в кольце D1 аналитическая функция F (z) распадается на
две различные аналитические ветви F1 (z) и F2 (z), для каждой из
которых z = 0 — алгебраическая точка ветвления второго порядка.
     2) Аналогично доказывается, что:
   в кольце 0 < |z − 2| < 2 функция F (z) распадается на две аналити-
ческие ветви, для каждой из которых z = 2 — алгебраическая точка
ветвления второго порядка;
   в кольце 2 < |z| < ∞ функция F (z) распадается на две аналити-
ческие ветви, для каждой из которых z = ∞ — алгебраическая точка
ветвления второго порядка. A

2. Граничные особые точки регулярных функций

   Определение 2. Пусть функция f (z) регулярна в области D,
границей которой является простая кривая Γ. Точка z0 ∈ Γ называ-
ется регулярной граничной точкой функции f (z), если функцию f (z)
можно аналитически продолжить в точку z0 по кривой γ с концом в
точке z0 , лежащей в области D, за исключением точки z0 . В против-

Страницы