Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

66 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
к функции F (z), т.е. радиус сходимости ряда (3) больше R
0
, что
противоречит условию.
y
П р и м е р 9. Радиус сходимости ряда
∞
P
n=0
(−1)
n
z
2n
равен 1. На
окружности |z| = 1 ес ть две особые точки его суммы
1
1 + z
2
, а именно,
точки ±i.
A
A
Следствие 1. Радиус сходимости ряда (3) равен расстоянию от
точки z
0
до ближайшей к ней особой точки функции f (z).
П р и м е р 10. Не вычисляя коэффициенты ряда
1
(z + 2)(z − 3i)
=
∞
X
n=0
C
n
z
n
,
можно сразу сказать, что его радиус сходимости равен двум, так как
ближайшей к точке z = 0 особой точкой его суммы является точка
z = −2.
A
A
З а м е ч а н и е 2. Сходимость ряда (3) в точках границы его
круга с ходимости не связана с регулярностью суммы ряда в этих
точках. Приведем примеры.
П р и м е р 11. Ряд
1
1 − z
=
∞
P
n=0
z
n
расходится в каждой точке
окружности |z| = 1. Для суммы ряда точка z = 1 — особая, а осталь-
ные точки этой окружности — регулярные.
A
A
П р и м е р 12. Ряд f (z) =
∞
P
n=1
(−1)
n+1
z
n
n
сходится в точке z =
= 1 и его сумма регулярна в этой точке, так как f(z) — это элемент
функции Ln(1 + z).
A
A
П р и м е р 13. Ряд f(z) =
∞
P
n=1
z
n+1
n(n + 1)
сходится в каждой точке
окружности |z| = 1, но точка z = 1 является особой для его суммы,
66         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


к функции F (z), т.е. радиус сходимости ряда (3) больше R0 , что
противоречит условию.      y
                                             ∞
                                                   (−1)n z 2n равен 1. На
                                             P
     П р и м е р 9. Радиус сходимости ряда
                                             n=0
                                                         1
окружности |z| = 1 есть две особые точки его суммы            , а именно,
                                                       1 + z2
точки ±i. A

   Следствие 1. Радиус сходимости ряда (3) равен расстоянию от
точки z0 до ближайшей к ней особой точки функции f (z).

     П р и м е р 10. Не вычисляя коэффициенты ряда
                                        ∞
                             1          X
                                      =   Cn z n ,
                      (z + 2)(z − 3i)
                                       n=0
можно сразу сказать, что его радиус сходимости равен двум, так как
ближайшей к точке z = 0 особой точкой его суммы является точка
z = −2. A
   З а м е ч а н и е 2. Сходимость ряда (3) в точках границы его
круга сходимости не связана с регулярностью суммы ряда в этих
точках. Приведем примеры.
                           1      ∞
                                     z n расходится в каждой точке
                                 P
   П р и м е р 11. Ряд        =
                          1−z    n=0
окружности |z| = 1. Для суммы ряда точка z = 1 — особая, а осталь-
ные точки этой окружности — регулярные. A
                                P∞ (−1)n+1 z n
     П р и м е р 12. Ряд f (z) =               сходится в точке z =
                                n=1     n
= 1 и его сумма регулярна в этой точке, так как f (z) — это элемент
функции Ln(1 + z). A
                                   ∞
                                   Pz n+1
     П р и м е р 13. Ряд f (z) =           сходится в каждой точке
                              n=1 n(n + 1)
окружности |z| = 1, но точка z = 1 является особой для его суммы,

Страницы