ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§6 Особые точки аналитических функций 65
ном случае точка z
0
называется граничной особой точкой функции
f(z).
Отметим, что если z
0
— регулярная граничная точка функции
f(z), то функцию f (z) можно аналитически продолжить в точку z
0
по любой кривой с концом в точке z
0
, лежащей в области D, за ис-
ключением точки z
0
. При этом в точке z
0
получается один и тот
же элемент f
0
(z) для всех таких кривых. Поэтому существует такая
окрестность точки z
0
, т.е. круг K
0
: |z − z
0
| < R
0
, что f
0
(z) при
z ∈ D ∩ K
0
.
Теорема 2. На границе круга сходимости степенного ряда
f(z) =
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
(3)
есть хотя бы одна особая точка его суммы.
i
Пусть K
0
: |z − z
0
| < R
0
— круг сходимости ряда (3), 0 < R
0
<
< ∞, и на окружности Γ
0
: |z − z
0
| = R
0
нет особых точек функции
f(z). Тогда эту функцию можно аналитически продолжить в каждую
точку ζ ∈ Γ
0
и в точке ζ получится элемент f
ζ
(z), z ∈ K
ζ
: |z−ζ| < R
ζ
,
такой, что f
ζ
(z) = f (z) при z ∈ K
0
∩K
ζ
. Таким образом, окружность
Γ
0
покрыта бесконечным числом кругов K
ζ
.
По лемме Гейля-Бореля из этого бесконечного покрытия можно
выбрать конечное покрытие, т.е. из всех кругов K
ζ
можно выбрать
конечное число кругов K
j
: |z − z
j
| < R
0
, j = 1,2, . . . ,n таких, что
каждая точка z ∈ Γ
0
принадлежит хотя бы одному из этих кругов.
Точку пересечения соседних окружностей |z−z
j
| = R
j
и |z−z
j+1
| =
= R
j+1
, лежащую вне круга K
0
, обозначим ez
j
, j = 1,2, . . . ,n (K
n+1
=
= K
1
). Пусть
f
R
0
= min
16j6n
|ez
j
− z
0
|. Тогда функция f(z) и элементы
f
j
(z), z ∈ k
j
, j = 1,2, . . . ,n определяют в круге
f
K
0
: |z − z
0
| <
f
R
0
регулярную функцию F (z) — аналитическое продолжение функции
f(z) из круга K
0
в круг
f
K
0
. Поэтому ряд (3) сходится в круге
f
K
0
§ 6 Особые точки аналитических функций 65
ном случае точка z0 называется граничной особой точкой функции
f (z).
Отметим, что если z0 — регулярная граничная точка функции
f (z), то функцию f (z) можно аналитически продолжить в точку z0
по любой кривой с концом в точке z0 , лежащей в области D, за ис-
ключением точки z0 . При этом в точке z0 получается один и тот
же элемент f0 (z) для всех таких кривых. Поэтому существует такая
окрестность точки z0 , т.е. круг K0 : |z − z0 | < R0 , что f0 (z) при
z ∈ D ∩ K0 .
Теорема 2. На границе круга сходимости степенного ряда
∞
X
f (z) = cn (z − z0 )n (3)
n=0
есть хотя бы одна особая точка его суммы.
i Пусть K : |z − z | < R — круг сходимости ряда (3), 0 < R <
0 0 0 0
< ∞, и на окружности Γ0 : |z − z0 | = R0 нет особых точек функции
f (z). Тогда эту функцию можно аналитически продолжить в каждую
точку ζ ∈ Γ0 и в точке ζ получится элемент fζ (z), z ∈ Kζ : |z −ζ| < Rζ ,
такой, что fζ (z) = f (z) при z ∈ K0 ∩ Kζ . Таким образом, окружность
Γ0 покрыта бесконечным числом кругов Kζ .
По лемме Гейля-Бореля из этого бесконечного покрытия можно
выбрать конечное покрытие, т.е. из всех кругов Kζ можно выбрать
конечное число кругов Kj : |z − zj | < R0 , j = 1,2, . . . ,n таких, что
каждая точка z ∈ Γ0 принадлежит хотя бы одному из этих кругов.
Точку пересечения соседних окружностей |z−zj | = Rj и |z−zj+1 | =
= Rj+1 , лежащую вне круга K0 , обозначим zej , j = 1,2, . . . ,n (Kn+1 =
f0 = min |zej − z0 |. Тогда функция f (z) и элементы
= K1 ). Пусть R
16j6n
fj (z), z ∈ kj , j = 1,2, . . . ,n определяют в круге Kf0 : |z − z0 | < R
f0
регулярную функцию F (z) — аналитическое продолжение функции
f (z) из круга K0 в круг K f0 . Поэтому ряд (3) сходится в круге K f0
