Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6 Особые точки аналитических функций 63
как такие и только такие кривые являются допустимыми для обоих
элементов g
0
(z) и h
0
(z).
В результате аналитического продолжения элемента f
0
(z) из
точки z
0
в точку z вдоль допустимой для него кривой γ в точке z
получается элемент
f(z) =
p
|z|e
i∆ϕ
1
2
+
p
|z − 2|e
i∆ϕ
2
2
, (2)
где ∆ϕ
1
= ∆
γ
arg z,∆ϕ
2
= ∆
γ
arg(z − 2) (см. свойство 5, §3, рис. 10,
11).
1) Пусть D
1
— кольцо 0 < |z| < 2 (рис. 31). Так как элемент
f
0
(z) можно аналитически продолжить по любой кривой γ с нача-
лом в точке z
0
, лежащей в области D
1
, то элемент f
0
(z) порождает
аналитическую в области D
1
функцию, обозначим ее F
1
(z).
0
z
0
= 1 2
γ
γ
1
Рис. 31.
По условию f
0
(1) = 1 + i. Найдем
результат аналитического продолже-
ния элемента f
0
(z) вдоль окружности
γ : |z| = 1 с началом и концом в точке
z
0
= 1, ориентированной против ча-
совой стрелки, т.е. совершим обход
вокруг точки z = 0 в положительном
направлении.
После одного оборота в точке z
0
=
= 1 получим элемент f
1
(z), значение
которого в точке z
0
= 1 по формуле
(2) равно f
1
(1) = −1 + i, так как ∆ϕ
1
= 2π,∆ϕ
2
= 0. Поэтому f
1
(z) =
= −g
0
(z)+h
0
(z). Таким образом, после первого оборота вокруг точки
z = 0 получаем
f
0
(z) = g
0
(z) + h
0
(z) → f
1
(z) = −g
0
(z) + h
0
(z) 6≡ f
0
(z).
Аналог ично, после второго оборота получаем
f
1
(z) = −g
0
(z) + h
0
(z) → g
0
(z) + h
0
(z) ≡ f
0
(z).
              § 6 Особые точки аналитических функций                         63

как такие и только такие кривые являются допустимыми для обоих
элементов g0 (z) и h0 (z).
   В результате аналитического продолжения элемента f0 (z) из
точки z0 в точку z вдоль допустимой для него кривой γ в точке z
получается элемент
                       p    i∆ϕ1  p       i∆ϕ2
                f (z) = |z|e 2 + |z − 2|e 2 ,               (2)
где ∆ϕ1 = ∆γ arg z,∆ϕ2 = ∆γ arg(z − 2) (см. свойство 5, §3, рис. 10,
11).
    1) Пусть D1 — кольцо 0 < |z| < 2 (рис. 31). Так как элемент
f0 (z) можно аналитически продолжить по любой кривой γ с нача-
лом в точке z0 , лежащей в области D1 , то элемент f0 (z) порождает
аналитическую в области D1 функцию, обозначим ее F1 (z).


     По условию f0 (1) = 1 + i. Найдем
результат аналитического продолже-
                                                    γ
ния элемента f0 (z) вдоль окружности
γ : |z| = 1 с началом и концом в точке
                                                        0
z0 = 1, ориентированной против ча-                          z0 = 1       2
совой стрелки, т.е. совершим обход                               γ1
вокруг точки z = 0 в положительном
направлении.
    После одного оборота в точке z0 =
                                                  Рис. 31.
= 1 получим элемент f1 (z), значение
которого в точке z0 = 1 по формуле
(2) равно f1 (1) = −1 + i, так как ∆ϕ1 = 2π,∆ϕ2 = 0. Поэтому f1 (z) =
= −g0 (z)+h0 (z). Таким образом, после первого оборота вокруг точки
z = 0 получаем
       f0 (z) = g0 (z) + h0 (z) → f1 (z) = −g0 (z) + h0 (z) 6≡ f0 (z).

   Аналогично, после второго оборота получаем
           f1 (z) = −g0 (z) + h0 (z) → g0 (z) + h0 (z) ≡ f0 (z).

Страницы