Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6 Особые точки аналитических функций 61
= 0. А так как g
0
0
(1) =
1
z
z=1
= 1 6= 0, то z = 1 — полюс функции
f
0
(z) первого порядка.
Итак, в проколотой окрестности точки z = 1 функция
1
Ln z
рас-
падается на бесконечное множество регулярных ветвей, каждая из
которых, кроме одной, регулярна в точке z = 1, а для одной из этих
ветвей точка z = 1 — полюс первого порядка.
A
A
П р и м е р 6. Исследуем особые точки функции F (z) = Ln
z − 1
3 − z
(см. пример 1, §4 и пример 11, §5). Эта функция аналитична во всей
расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками 1,3,∞.
A
A
1) Пусть K
1
: 0 < |z −1| < 2,f
1
(z) = g
1
(z) −h
1
(z) — элемент функ-
ции F (z) в точке z
1
= 2 ∈ K
1
, где g
1
(z),h
1
(z) — некоторые элементы
соответственно функций Ln(z − 1), Ln(3 − z) в точке z
1
= 2.
При аналитическом продолжении эле мента f
1
(z) вдоль окружно-
сти |z −1| = 1 после каждого оборота вокруг точки z = 1 получается
новый элемент:
f
1
(z) → f
1
(z) + 2πi → f
1
(z) + 4πi → . . . ,
так как
g
1
(z) → g
1
(z) + 2πi → g(z) + 4πi → . . . ,
h
1
(z) → h
1
(z) → h
1
(z) → . . . .
Следовательно, z = 1 — логарифмическая точка ветвления функции
F (z).
2) Аналогично доказывается, что точка z = 3 также является ло-
гарифмической функцией F (z).
3) В кольце 3 < |z| < ∞ функция F (z) распадается на регулярные
ветви f
k
(z),k = 0, ± 1, ± 2, . . . такие, что lim
z→∞
f
k
(z) = π(1 + 2k)i (см.
пример 11, §5), поэтому для каждой из этих ветвей точка z = ∞
является устранимой, т.е. регулярной.
A
A
П р и м е р 7. Исследуем особые точки функции F (z) =
=
3
p
z
2
(2 − z) (см. пример 2, §4 и пример 12, §5). Эта функция ана-
               § 6 Особые точки аналитических функций                   61


                   0       1
= 0. А так как g0 (1) =              = 1 6= 0, то z = 1 — полюс функции
                           z   z=1
f0 (z) первого порядка.
                                                           1
   Итак, в проколотой окрестности точки z = 1 функция          рас-
                                                         Ln z
падается на бесконечное множество регулярных ветвей, каждая из
которых, кроме одной, регулярна в точке z = 1, а для одной из этих
ветвей точка z = 1 — полюс первого порядка. A
                                                                     z−1
    П р и м е р 6. Исследуем особые точки функции F (z) = Ln
                                                                     3−z
(см. пример 1, §4 и пример 11, §5). Эта функция аналитична во всей
расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками 1,3,∞.
 A 1) Пусть K1 : 0 < |z − 1| < 2,f1 (z) = g1 (z) − h1 (z) — элемент функ-
ции F (z) в точке z1 = 2 ∈ K1 , где g1 (z),h1 (z) — некоторые элементы
соответственно функций Ln(z − 1), Ln(3 − z) в точке z1 = 2.
    При аналитическом продолжении элемента f1 (z) вдоль окружно-
сти |z − 1| = 1 после каждого оборота вокруг точки z = 1 получается
новый элемент:
               f1 (z) → f1 (z) + 2πi → f1 (z) + 4πi → . . . ,
так как
                g1 (z) → g1 (z) + 2πi → g(z) + 4πi → . . . ,
                h1 (z) → h1 (z) → h1 (z) → . . . .
Следовательно, z = 1 — логарифмическая точка ветвления функции
F (z).
    2) Аналогично доказывается, что точка z = 3 также является ло-
гарифмической функцией F (z).
    3) В кольце 3 < |z| < ∞ функция F (z) распадается на регулярные
ветви fk (z),k = 0, ± 1, ± 2, . . . такие, что lim fk (z) = π(1 + 2k)i (см.
                                              z→∞
пример 11, §5), поэтому для каждой из этих ветвей точка z = ∞
является устранимой, т.е. регулярной. A

    П р и м е р 7.
    p                       Исследуем особые точки функции F (z) =
=   3
      z 2 (2 − z) (см. пример 2, §4 и пример 12, §5). Эта функция ана-

Страницы