Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

58 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
Доказательство этой теоремы см. в [2].
Покажем на примерах, как исследуются особые точки многознач-
ных аналитических функций.
П р и м е р 4. Исследуем особые точки функции F (z) =
1
2 +
√
z
.
Эта функция аналитична в расширенной комплексной плоскости с
выколотыми точками z = 0,z = ∞ (это особые точки функции
√
z) и
z = 4 (в этой точке одно из значений знаменателя 2+
√
z равно нулю).
A
A
1) Рассмотрим проколотую окрестность точки z = 0, не содер-
жащую точку z = 4, например, кольцо K
1
: 0 < |z| < 2. Выберем
в какой-нибудь точке этого кольца некоторый элемент функции
√
z.
Пусть, например, z
1
= 1,g
1
(z) — элемент функции
√
z в точке z
1
= 1
такой, что g
1
(z) = 1. Тогда f
1
(z) =
1
2 + g
1
(z)
— элемент функции
F (z) в точке z
1
= 1. Так как этот элемент можно аналитически про-
должить по любой кривой, лежащей в кольце K
1
, то элемент f
1
(z)
порождает аналитическую в кольце K
1
функцию F
1
(z) — аналитиче-
скую ветвь функции F (z) в кольце K
1
.
Рассмотрим аналитическое продолжение элемента f
1
(z) вдоль
окружности |z| = 1. После первого оборота вокруг точки z
0
полу-
чаем
f
1
(z) →
1
2 − g
1
(z)
6≡ f
1
(z),
после второго оборота
1
2 − g
1
(z)
→
1
2 + g
1
(z)
≡ f
1
(z).
Следовательно, точка z = 0 является алгебраической точкой ветвле-
ния второго порядка функции F
1
(z).
Отметим, в кольце K
1
можно выделить только одну аналитиче-
скую ветвь функции F (z) (с точностью до исходного элемента). По-
этому точку z
0
называют алгебраической точкой ветвления второго
порядка функции F (z).
2) Рассмотрим кольцо K
2
: 4 < |z| < ∞ — проколотую окрест-
58         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


   Доказательство этой теоремы см. в [2].
   Покажем на примерах, как исследуются особые точки многознач-
ных аналитических функций.
                                                                    1
     П р и м е р 4. Исследуем особые точки функции F (z) =           √ .
                                                                  2+ z
Эта функция аналитична в расширенной комплексной плоскости с
                                                                   √
выколотыми точками z = 0,z = ∞ (это особые точки функции z) и
                                                          √
z = 4 (в этой точке одно из значений знаменателя 2+ z равно нулю).
 A 1) Рассмотрим проколотую окрестность точки z = 0, не содер-
жащую точку z = 4, например, кольцо K1 : 0 < |z| < 2. Выберем
                                                                      √
в какой-нибудь точке этого кольца некоторый элемент функции z.
                                                         √
Пусть, например, z1 = 1,g1 (z) — элемент функции z в точке z1 = 1
                                                1
такой, что g1 (z) = 1. Тогда f1 (z) =                  — элемент функции
                                           2 + g1 (z)
F (z) в точке z1 = 1. Так как этот элемент можно аналитически про-
должить по любой кривой, лежащей в кольце K1 , то элемент f1 (z)
порождает аналитическую в кольце K1 функцию F1 (z) — аналитиче-
скую ветвь функции F (z) в кольце K1 .
    Рассмотрим аналитическое продолжение элемента f1 (z) вдоль
окружности |z| = 1. После первого оборота вокруг точки z0 полу-
чаем
                                    1
                       f1 (z) →             6≡ f1 (z),
                                2 − g1 (z)
после второго оборота
                         1             1
                                →              ≡ f1 (z).
                     2 − g1 (z)   2 + g1 (z)
Следовательно, точка z = 0 является алгебраической точкой ветвле-
ния второго порядка функции F1 (z).
    Отметим, в кольце K1 можно выделить только одну аналитиче-
скую ветвь функции F (z) (с точностью до исходного элемента). По-
этому точку z0 называют алгебраической точкой ветвления второго
порядка функции F (z).
    2) Рассмотрим кольцо K2 : 4 < |z| < ∞ — проколотую окрест-

Страницы