Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6 Особые точки аналитических функций 55
кривой γ
1
в каждую точку z ∈ γ
1
, z 6= z
1
и нельзя продолжить в точку
z
1
. Тогда пару (γ
1
,z
1
) называют особой “точкой” функции F (z).
Вы знакомы с определением и классификацией изолированных осо-
бых точек однозначного характера. Рассмотрим другие случаи осо-
бых точек аналитических функций.
1. Точки ветвления
Определение 1. Пусть функция F (z) аналитична в проколотой
окрестности точки z
0
и неоднозначна в этой окрестности. Тогда точка
z
0
называется точкой ветвления функции F (z).
П р и м е р 1.
1) Функция Ln z аналитична и неоднозначна в области D : 0 < |z| <
< ∞. Область D является проколотой окрестностью точки z = 0
и одновременно проколотой окрестностью точки z = ∞. Следова-
тельно, z = 0 и z = ∞ — точки ветвления функции Ln z.
2) Аналог ично, точки z = 0 и z = ∞ — точки ветвления функции z
b
,
если b — нецелое число.
A
A
Приведем другое эквивалентное определение точки ветвления.
Пусть функция F (z) аналитична в проколотой окрестности точки
z
0
, т.е. в кольце K
0
: 0 < |z − z
0
| < R, если z
0
6= ∞, или в кольце
K
0
: R < |z| < ∞, если z
0
= ∞. И пусть f
1
(z) — элемент функции
F (z) в точке z
1
∈ K
0
. Совершим обход вокруг точки z
0
, т.е. рассмо-
трим аналитическое продолжение элемента f
1
(z) вдоль окружности
γ : |z − z
0
| = |z
1
− z
0
|, если z
0
6= ∞, γ : |z| = |z
1
|, если z
0
= ∞.
При этом может оказаться, что после одного оборота вокруг точки
z
0
в точке z
1
получится тот же элемент f
1
(z). Тогда по теореме о
монодромии можно доказать, что функция F (z) однозначна и, сле-
довательно, регулярна в кольце K
0
. Поэтому z
0
— изолированная
особая точка однозначного характера функции F (z), т.е. z
0
— либо
устранимая особая точка, либо полюс, либо существенно особая точка
функции F (z).
Если же после первого оборота вокруг точки z
0
в точке z
1
полу-
              § 6 Особые точки аналитических функций                55

кривой γ1 в каждую точку z ∈ γ1 , z 6= z1 и нельзя продолжить в точку
z1 . Тогда пару (γ1 ,z1 ) называют особой “точкой” функции F (z).
     Вы знакомы с определением и классификацией изолированных осо-
бых точек однозначного характера. Рассмотрим другие случаи осо-
бых точек аналитических функций.
1. Точки ветвления

    Определение 1. Пусть функция F (z) аналитична в проколотой
окрестности точки z0 и неоднозначна в этой окрестности. Тогда точка
z0 называется точкой ветвления функции F (z).

   П р и м е р 1.
1) Функция Ln z аналитична и неоднозначна в области D : 0 < |z| <
   < ∞. Область D является проколотой окрестностью точки z = 0
   и одновременно проколотой окрестностью точки z = ∞. Следова-
   тельно, z = 0 и z = ∞ — точки ветвления функции Ln z.
2) Аналогично, точки z = 0 и z = ∞ — точки ветвления функции z b ,
   если b — нецелое число. A
     Приведем другое эквивалентное определение точки ветвления.
     Пусть функция F (z) аналитична в проколотой окрестности точки
z0 , т.е. в кольце K0 : 0 < |z − z0 | < R, если z0 6= ∞, или в кольце
K0 : R < |z| < ∞, если z0 = ∞. И пусть f1 (z) — элемент функции
F (z) в точке z1 ∈ K0 . Совершим обход вокруг точки z0 , т.е. рассмо-
трим аналитическое продолжение элемента f1 (z) вдоль окружности
γ : |z − z0 | = |z1 − z0 |, если z0 6= ∞, γ : |z| = |z1 |, если z0 = ∞.
     При этом может оказаться, что после одного оборота вокруг точки
z0 в точке z1 получится тот же элемент f1 (z). Тогда по теореме о
монодромии можно доказать, что функция F (z) однозначна и, сле-
довательно, регулярна в кольце K0 . Поэтому z0 — изолированная
особая точка однозначного характера функции F (z), т.е. z0 — либо
устранимая особая точка, либо полюс, либо существенно особая точка
функции F (z).
     Если же после первого оборота вокруг точки z0 в точке z1 полу-

Страницы