Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 51
при 0 < x < 2, f(x − i0) =
3
p
x
2
(2 − x)e
−
2πi
3
.
2) По формуле (8), §4 при a = 0, b = 2, α =
2
3
, β =
1
3
получаем
f
0
(z) =
3z −4
3z(z −2)
f(z). (27)
Например, по формуле (26) имеем f (−1) =
3
√
3e
2πi
3
и по формуле
(27) находим
f
0
(−1) =
7
3
√
3
9
e
−
πi
3
.
Отметим, что формулу (27) можно получить следующим образом.
В окрестности каждой точки z(z 6∈ [0,2]) функция f(z) является су-
перпозицией двух функций: f(z) = g(ζ(z)), где ζ = ζ(z) = z
2
(2 − z),
g(ζ) — некоторый элемент функции
3
√
ζ в точке ζ = ζ(z). Так как
g
0
(ζ) =
1
3ζ
, то
f
0
(z) = g
0
(ζ)ζ
0
(z) =
1
3ζ(z)
g(ζ(z))ζ
0
(z) =
=
1
3z
2
(2 − z)
f(z)[z
2
(2 − z)]
0
=
3z − 4
3z(z − 2)
f(z).
3) В кольце 2 < |z| < ∞ функция
3
p
z
2
(2 − z) распадается на три
регулярные ветви, для которых ряды Лорана по степеням z можно
получить следующим способом:
3
p
z
2
(2 − z) = (−z
3
)
1
3
1 −
2
z
1
3
= ze
π+2πk
3
i
∞
X
n=0
c
n
1
3
(−2)
n
1
z
n
,
где k = 0,1,2.
Так как функция f(z) является одной из этих ветвей, то
f(z) = ze
π+2πk
3
i
1 −
2
3z
−
4
9z
2
− . . .
, (28)
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций                              51

                                                     2πi
                                      x2 (2 − x)e−
                                  p
                                  3
при 0 < x < 2, f (x − i0) =                           3    .
                                              2     1
   2) По формуле (8), §4 при a = 0, b = 2, α = , β = получаем
                                              3     3
                                         3z − 4
                            f 0 (z) =             f (z).                                    (27)
                                        3z(z − 2)
                                                                   √
                                                                   3        2πi
   Например, по формуле (26) имеем f (−1) =                            3e    3    и по формуле
(27) находим                    √
                       0       7 3 3 − πi
                      f (−1) =      e 3.
                                 9
      Отметим, что формулу (27) можно получить следующим образом.
В окрестности каждой точки z(z 6∈ [0,2]) функция f (z) является су-
перпозицией двух функций: f (z) = g(ζ(z)),
                                     √     где ζ = ζ(z) = z 2 (2 − z),
                                      3
g(ζ) — некоторый элемент функции ζ в точке ζ = ζ(z). Так как
g 0 (ζ) = 3ζ
           1
             , то

                                  1
          f 0 (z) = g 0 (ζ)ζ 0 (z) =   g(ζ(z))ζ 0 (z) =
                                3ζ(z)
                      1                               3z − 4
                 = 2         f (z)[z 2 (2 − z)]0 =            f (z).
                  3z (2 − z)                        3z(z − 2)
                                   p
   3) В кольце 2 < |z| < ∞ функция 3 z 2 (2 − z) распадается на три
регулярные ветви, для которых ряды Лорана по степеням z можно
получить следующим способом:
                                            1                    ∞
      p                       1          2    3          π+2πk     X                  1
      3
        z 2 (2 − z) = (−z 3 ) 3       1−          = ze     3
                                                               i
                                                                         cn1 (−2)n      ,
                                         z                                  3        zn
                                                                   n=0

где k = 0,1,2.
   Так как функция f (z) является одной из этих ветвей, то
                                                  
                         π+2πk
                               i       2   4
               f (z) = ze 3        1−    −    − ... ,                                       (28)
                                      3z 9z 2

Страницы