Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

44 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
Из равенства (14) целое число k определяется неоднозначно, но
это не существенно. Важно, что в формуле (13) множитель e
πi
8
(1+4k)
определяется однозначно формулой (14). Однако, в таких задачах во
избежание вычислительных ошибок полезно проверить, что равен-
ство (14) в самом деле выполняется при некоторых целых значениях
k. В данном случае равенство (14) выполняется, например, при k = 1.
Итак, из формул (13) и (14) находим
g(z) =
4
√
2e
5πi
8
∞
X
n=0
C
n
1
4
1
(2i)
n
(z − 1 − 2i)
n
. (15)
Так же, как и в примере 8, получается, что ряд (15) сходится
к функции g(z) в области D
1
(рис. 22), а в области D
2
сходится к
функции ig(z).
A
A
a
b
z
0
γ
2
γ
1
Рис. 23.
П р и м е р 10. Пусть D — вся ком-
плексная плоскость с разрезом по отрезку
[a,b], где a и b действительные числа, a <
< b (рис. 23). Докажем, что в этой обла-
сти:
1) функция
F (z) = Ln
z − a
b − z
(16)
распадается на регулярные ветви;
2) функция
F (z) = (z − a)
α
(b − z)
1−α
, (17)
где α — действительное число, также распадается на регулярные
ветви.
A
A
1) Функцию (16) определим формулой
F (z) = πi + Ln(z − a) −Ln(z − b) (18)
(ср. с примером 1, §4).
44         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


   Из равенства (14) целое число k определяется неоднозначно, но
                                                           πi
это не существенно. Важно, что в формуле (13) множитель e 8 (1+4k)
определяется однозначно формулой (14). Однако, в таких задачах во
избежание вычислительных ошибок полезно проверить, что равен-
ство (14) в самом деле выполняется при некоторых целых значениях
k. В данном случае равенство (14) выполняется, например, при k = 1.
   Итак, из формул (13) и (14) находим
                                         ∞
                          √        5πi   X              1
                                               C n1         (z − 1 − 2i)n .
                          4
                 g(z) =       2e    8                                                (15)
                                                 4    (2i)n
                                         n=0

   Так же, как и в примере 8, получается, что ряд (15) сходится
к функции g(z) в области D1 (рис. 22), а в области D2 сходится к
функции ig(z). A


    П р и м е р 10. Пусть D — вся ком- γ2                                           z0
                                                                                         γ1
плексная плоскость с разрезом по отрезку
[a,b], где a и b действительные числа, a <
                                                   a                          b
< b (рис. 23). Докажем, что в этой обла-
сти:
1) функция                                                               Рис. 23.
                                          z−a
                               F (z) = Ln                                            (16)
                                          b−z
    распадается на регулярные ветви;
2) функция
                         F (z) = (z − a)α (b − z)1−α ,                               (17)
  где α — действительное число, также распадается на регулярные
  ветви.
A 1) Функцию (16) определим формулой

                   F (z) = πi + Ln(z − a) − Ln(z − b)                                (18)
     (ср. с примером 1, §4).

Страницы