Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 38 стр.

38        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


    Предположим, что элемент f1 (z) можно аналитически продол-
жить по любой кривой, лежащей в области D, с началом в точке
z1 ∈ D, т.е. элемент f1 (z) порождает аналитическую в области D
функцию f (z). Тогда каждый элемент f2 (z) функции f (z) в каждой
точке z2 ∈ D является элементом функции F (z). Таким образом,
f (z) — это множество элементов функции F (z) таких, что они по-
лучаются в результате аналитического продолжения элемента f1 (z)
из точки z1 по всем кривым, лежащим в области D. В этом слу-
чае функцию f (z) называют аналитической ветвью функции F (z) в
области D.
    При этом может оказаться, что функция f (z) однозначна и, сле-
довательно, регулярна в области D, так как в окрестности каждой
точки z2 ∈ D функция f (z) является одним из элементов функции
F (z) и поэтому функция f (z) регулярна в точке z2 . Тогда функцию
f (z) называют регулярной ветвью функции F (z) в области D.
    Определение регулярной ветви многозначной функции F (z) (за-
данной своими значениями и не обязательно аналитической) можно
сформулировать следующим образом.
    Определение 3.      Регулярной ветвью многозначной функции
F (z) в области D называется такая регулярная в области функ-
ция f (z), что в каждой точке z ∈ D значение f (z) равно одному из
значений функции F (z).
   Для доказательства возможности выделения в области D регуляр-
ной ветви аналитической функции F (z) нужно доказать, что в неко-
торой точке z0 ∈ D существует такой элемент f0 (z) функции F (z),
что:
1) элемент f0 (z) можно аналитически продолжить по любой кривой
   с началом в точке z0 , лежащей в области D;
2) аналитическая в области D функция f (z), порожденная элементом
   f0 (z), является однозначной и, следовательно, регулярной в обла-
   сти D.
   В примере 6 однозначность функции f (z) (и g(z)) доказана с по-
мощью свойств приращения аргумента z (п. 1, свойство 1). Ока-