Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 34 стр.

34          Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


        z                                  γ             )
                     γ                             ϕ(z
                                                     0       1
                      ϕ(z)

                      0       1
                                      z
                Рис. 17                           Рис. 18

области D, заданная значением ϕ(1 + i0) = 0, такова, что 0 < ϕ(z) <
< 2π (рис. 18).
                          π

A Например, ϕ(iy) =      при y > 0, ϕ(x) = π при x < 0, ϕ(iy) = 3π
                          2                                         2
при y < 0 (ср. пример 1), на верхнем берегу разреза ϕ(x + i0) = 0 при
x > 0, на нижнем берегу разреза ϕ(x − i0) = 2π при x > 0. 
A
   Приведем пример области, в которой нельзя выделить непрерыв-
ную ветвь функции arg z.
    П р и м е р 3. Пусть D — кольцо 1 < |z| < 3 (рис. 19). Предполо-
жим, что в этой области существует непрерывная ветвь ϕ(z) функции
arg z. Тогда функция ϕ(z) непрерывна, в частности, на окружности
γ : |z| = 2 (рис. 19). Если, например, z0 = 2,ϕ(z0 ) = ϕ0 = arg 2, то в
точках z ∈ γ по формуле (3) получаем

                          ϕ(z) = ϕ0 + ∆γ arg z,

откуда при ∆γ arg z = 2π (после одного оборота вокруг точки z = 0
по окружности γ против часовой стрелки) получаем ϕ(z0 ) = ϕ0 + 2π,
что противоречит равенству ϕ(z0 ) = ϕ0 . 
A
   Таким образом, в области D можно выделить непрерывную ветвь
функции arg z, если приращение аргумента ∆γ arg z не зависит от
кривой γ, т.е. если для любой замкнутой кривой γ, лежащей в области
D, имеет место равенство ∆γ arg z = 0. Другими словами, в области
D не должно быть простых замкнутых кривых, содержащих внутри
себя точку z = 0, т.е. нужно, чтобы в области D нельзя было обойти
вокруг точки z = 0 (одновременно вокруг точки z = ∞). Такой обла-