Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
Пусть g
0
(z
0
) = |z
0
− a|
α
e
iαϕ
(0)
1
, h
0
(z
0
) = |z
0
− a|
β
e
iβϕ
(0)
2
, где ϕ
(0)
1
=
= arg(z
0
− a), ϕ
(0)
2
= arg(z
0
− b) (рис. 12). Тогда
f
0
(z
0
) = |z
0
− a|
α
|z − b|
β
e
αϕ
(0)
1
+βϕ
(0)
2
i
. (6)
По формуле (11), §3 получаем, что в результате аналитического
продолжения элемента f
0
(z) из точки z
0
в точку z вдоль кривой γ, не
проходящей через точки z = a,z = b, в точке z получается элемент
f(z) функции F (z), значение которого вычисляется по формуле
f(z) = |z − a|
α
|z − b|
β
e
αϕ
(0)
1
+βϕ
(0)
2
i
e
(α∆ϕ
1
+β∆ϕ
2
)i
, (7)
где ∆ϕ
1
= ∆
γ
arg(z − a), ∆ϕ
2
= ∆
γ
arg(z − b).
Итак, значения функции (5) вычисляются по формуле (7).
Найдем формулу для вычисления значений производной элементов
функции (5). Пусть f(z) = g(z)h(z) — элемент функции (5) в точке
z 6= a, z 6= b, где g(z), h(z) — элементы соответственно функций
(z − a)
α
, (z − b)
β
. Тогда, используя формулу (8), §3, получаем
f
0
(z) = g
0
(z)h(z) + g(z)h
0
(z) =
α
z − a
g(z)h(z) + g(z)
β
z − b
h(z) =
=
α
z − a
+
β
z − b
f(z).
Итак:
f
0
(z) =
α
z − a
+
β
z − b
f(z).
A
A
(8)
П р и м е р 3. Покажем, как можно определить обратные три-
гонометрические функции.
A
A
Решим уравнение sin w = z относительно w при заданном (любом)
значении z. Получаем:
1
2i
e
iw
− e
−iw
= z,
28          Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

                                      (0)                               (0)       (0)
   Пусть g0 (z0 ) = |z0 − a|α eiαϕ1 , h0 (z0 ) = |z0 − a|β eiβϕ2 , где ϕ1 =
                 (0)
= arg(z0 − a), ϕ2 = arg(z0 − b) (рис. 12). Тогда
                                                            
                                                    (0)  (0)
                                                  αϕ1 +βϕ2 i
                  f0 (z0 ) = |z0 − a|α |z − b|β e                   .               (6)

    По формуле (11), §3 получаем, что в результате аналитического
продолжения элемента f0 (z) из точки z0 в точку z вдоль кривой γ, не
проходящей через точки z = a,z = b, в точке z получается элемент
f (z) функции F (z), значение которого вычисляется по формуле
                                                     
                                             (0)  (0)
                           α          β    αϕ1 +βϕ2 i (α∆ϕ1 +β∆ϕ2 )i
            f (z) = |z − a| |z − b| e                     e                   ,     (7)

где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b).
    Итак, значения функции (5) вычисляются по формуле (7).
    Найдем формулу для вычисления значений производной элементов
функции (5). Пусть f (z) = g(z)h(z) — элемент функции (5) в точке
z 6= a, z 6= b, где g(z), h(z) — элементы соответственно функций
(z − a)α , (z − b)β . Тогда, используя формулу (8), §3, получаем
                                           α                   β
     f 0 (z) = g 0 (z)h(z) + g(z)h0 (z) =     g(z)h(z) + g(z)     h(z) =
                                        z−a                 z−b
                     α       β
             =           +         f (z).
                   z−a z−b
Итак:                                              
                                      α   β
                     f 0 (z) =          +               f (z). A                   (8)
                                     z−a z−b

   П р и м е р 3. Покажем, как можно определить обратные три-
гонометрические функции.
 A Решим уравнение sin w = z относительно w при заданном (любом)
значении z. Получаем:
                               1 iw
                                  e − e−iw = z,
                                          
                               2i

Страницы