Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
П р и м е р 1. Рассмотрим функцию
F (z) = Ln[(z −a)(z −b)], (1)
где a, b — действительные числа, a < b.
A
A
Эту функцию можно определить как суперпозицию функций ζ =
= H(z) = (z −a)(z −b) и G(ζ) = Ln ζ (см. §3). Однако более простым
для изучения свойств функции (1) является эквивалентное определе-
ние ее по формуле
F (z) = Ln[(z −a)(z −b)] = Ln(z −a) + Ln(z −b). (2)
Свойства функции вида Ln(z −a), определенной как суперпозиция
функций ζ = z − a и Ln ζ, получаются непосредственно из свойств
функции Ln z.
По определению 1 функция (2) — это аналитическая функция с
исходным элементом f
0
(z) = g
0
(z) + h
0
(z), где g
0
(z), h
0
(z) — некото-
рые элементы соответственно функций Ln(z −a), Ln(z −b) в одной и
той же точке z
0
, где z
0
6= a, z
0
6= b.
Каждый из элементов g
0
(z) и h
0
(z) полностью определяется своим
значением в точке z
0
(замечание 1, §2).
Пусть g
0
(z
0
) = ln |z
0
− a| + iϕ
(0)
1
, h(z
0
) = ln |z
0
− b| + iϕ
(0)
2
, где
ϕ
(0)
1
— одно из значений arg(z
0
−a), ϕ
(0)
2
— одно из значений arg(z
0
−
− b) (рис. 12). Тогда
f
0
(z
0
) = ln |(z
0
− a)(z
0
− b)| +
ϕ
(0)
1
+ ϕ
(0)
2
i. (3)
Элементы g
0
(z) и h
0
(z) можно аналитически продолжить из точки
z
0
в точку z вдоль любой кривой γ, не проходящей через точки z = a
и z = b (свойство 2, §2), и значения этих продолжений вычисляются
по формуле (13), §2. Следовательно, элемент f
0
(z) можно аналити-
чески продолжить по любой такой кривой и в результате в точке z
получится такой элемент f(z) функции F (z), значение которого вы-
числяется по формуле
f(z) = ln |(z −a)(z −b)| +
ϕ
(0)
1
+ ϕ
(0)
2
i + (∆ϕ
1
+ ∆ϕ
2
)i, (4)
26        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

     П р и м е р 1. Рассмотрим функцию
                       F (z) = Ln[(z − a)(z − b)],                    (1)
где a, b — действительные числа, a < b.
A Эту функцию можно определить как суперпозицию функций ζ =
= H(z) = (z − a)(z − b) и G(ζ) = Ln ζ (см. §3). Однако более простым
для изучения свойств функции (1) является эквивалентное определе-
ние ее по формуле
          F (z) = Ln[(z − a)(z − b)] = Ln(z − a) + Ln(z − b).         (2)
    Свойства функции вида Ln(z − a), определенной как суперпозиция
функций ζ = z − a и Ln ζ, получаются непосредственно из свойств
функции Ln z.
    По определению 1 функция (2) — это аналитическая функция с
исходным элементом f0 (z) = g0 (z) + h0 (z), где g0 (z), h0 (z) — некото-
рые элементы соответственно функций Ln(z − a), Ln(z − b) в одной и
той же точке z0 , где z0 6= a, z0 6= b.
    Каждый из элементов g0 (z) и h0 (z) полностью определяется своим
значением в точке z0 (замечание 1, §2).
                                        (0)                       (0)
    Пусть g0 (z0 ) = ln |z0 − a| + iϕ1 , h(z0 ) = ln |z0 − b| + iϕ2 , где
 (0)                                        (0)
ϕ1 — одно из значений arg(z0 − a), ϕ2 — одно из значений arg(z0 −
− b) (рис. 12). Тогда
                                                          
                                                  (0)  (0)
             f0 (z0 ) = ln |(z0 − a)(z0 − b)| + ϕ1 + ϕ2 i.            (3)

    Элементы g0 (z) и h0 (z) можно аналитически продолжить из точки
z0 в точку z вдоль любой кривой γ, не проходящей через точки z = a
и z = b (свойство 2, §2), и значения этих продолжений вычисляются
по формуле (13), §2. Следовательно, элемент f0 (z) можно аналити-
чески продолжить по любой такой кривой и в результате в точке z
получится такой элемент f (z) функции F (z), значение которого вы-
числяется по формуле
                                              
                                      (0)  (0)
       f (z) = ln |(z − a)(z − b)| + ϕ1 + ϕ2 i + (∆ϕ1 + ∆ϕ2 )i,  (4)

Страницы