Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
0
∆
γ
arg z
γ
1
2i
∆
γ
+
arg z
∆
γ
−
arg z
γ
+
γ
−
−1
1
0
Рис. 8 Рис. 9
Отметим, что функция Ln z является обратной к функции e
z
, так
как из формулы (5) получается равенство e
Ln z
= z.
Свойство 4. Пусть f (z) — элемент функции Ln z в точке z
0
6= 0.
Тогда
f
0
(z) =
1
z
. (9)
i
Выше доказано, что функция Ln z — это множество элементов
вида (4). В формуле (4) первый интеграл не зависит от z, а вто-
рой является первообразной функции
1
z
в круге K
1
. Следовательно,
f
0
1
(z) =
1
z
. Заменяя здесь f
1
(z) на f (z), получаем формулу (9).
y
Свойство 5. Пусть f (z) — элемент функции Ln z в точке z
0
6= 0.
Тогда этот элемент представляется рядом Тейлора
f(z ) = f (z
0
) +
∞
X
n=1
(−1)
n−1
nz
n
0
(z − z
0
)
n
, (10)
сходящимся к функции f (z) в круге K
0
: |z − z
0
| < |z
0
|; все элементы
функции Ln z в точке z
0
имеют вид
Ln z = Ln z
0
+
∞
X
n=1
(−1)
n−1
nz
n
0
(z − z
0
)
n
, (11)
14        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

                 γ
            2i
                                                       γ+
                                                            ∆γ+ arg z

                                                −1                           1
                                                               0
                 ∆γ


                                                            ∆γ− arg z
                     ar
                      gz


                                                                        γ−
             0                1

                     Рис. 8                                 Рис. 9

   Отметим, что функция Ln z является обратной к функции ez , так
как из формулы (5) получается равенство eLn z = z.
                                                             6 0.
   Свойство 4. Пусть f (z) — элемент функции Ln z в точке z0 =
Тогда
                                    1
                           f 0 (z) = .                         (9)
                                    z

 i Выше доказано, что функция Ln z — это множество элементов
вида (4). В формуле (4) первый интеграл не зависит от z, а вто-
рой является первообразной функции z1 в круге K1 . Следовательно,
f10 (z) = z1 . Заменяя здесь f1 (z) на f (z), получаем формулу (9).              y

   Свойство 5. Пусть f (z) — элемент функции Ln z в точке z0 6= 0.
Тогда этот элемент представляется рядом Тейлора
                                          ∞
                                          X (−1)n−1
                      f (z) = f (z0 ) +                 (z − z0 )n ,             (10)
                                                nz0n
                                          n=1

сходящимся к функции f (z) в круге K0 : |z − z0 | < |z0 |; все элементы
функции Ln z в точке z0 имеют вид
                                          ∞
                                          X (−1)n−1
                      Ln z = Ln z0 +                    (z − z0 )n ,             (11)
                                                nz0n
                                          n=1

Страницы