Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1 Определение аналитической функции 7
γ
K
0
K
1
K
2
K
n
K
n−1
a = z
0
z
1
z
2
z
n−1
b = z
n
Рис. 4
вой γ”, а кривую γ будем называть допустимой для элемента f
0
(z).
Заметим, что аналитическое продолжение элемента f
0
(z) вдоль
допустимой кривой γ определяет на кривой γ непрерывную функцию
F
γ
(z) (значениями элементов f
j
(z)), а в каждой точке ζ ∈ γ — элемент
f
ζ
(z) такой, что
f
ζ
(z) = F
γ
(z), z ∈ γ
ζ
, (2)
где γ
ζ
— дуга кривой γ, лежащая в некоторой окрестности точки ζ.
Можно доказать обратное утверждение: если на кривой γ задана
непрерывная функция F
γ
(z) и в каждой точке ζ ∈ γ задан элемент
f
ζ
(z) такой, что выполняется условие (2), то из множества этих эле-
ментов f
ζ
(z) можно выбрать конечное число элементов f
j
(z), j =
= 1,2, . . . ,n, удовлетворяющих определению 3.
Таким образом, эквивалентным определению 3 является
Определение 4. Пусть в начальной точке a кривой γ задан эле-
                 § 1 Определение аналитической функции                 7

                                               Kn−1

                 K2
                                 γ

                                                                  Kn
                          z2                 zn−1
       K1


                 z1                                      b = zn
  K0


        a = z0



                                 Рис. 4

вой γ”, а кривую γ будем называть допустимой для элемента f0 (z).

    Заметим, что аналитическое продолжение элемента f0 (z) вдоль
допустимой кривой γ определяет на кривой γ непрерывную функцию
Fγ (z) (значениями элементов fj (z)), а в каждой точке ζ ∈ γ — элемент
fζ (z) такой, что
                       fζ (z) = Fγ (z), z ∈ γζ ,                    (2)

где γζ — дуга кривой γ, лежащая в некоторой окрестности точки ζ.
    Можно доказать обратное утверждение: если на кривой γ задана
непрерывная функция Fγ (z) и в каждой точке ζ ∈ γ задан элемент
fζ (z) такой, что выполняется условие (2), то из множества этих эле-
ментов fζ (z) можно выбрать конечное число элементов fj (z), j =
= 1,2, . . . ,n, удовлетворяющих определению 3.
    Таким образом, эквивалентным определению 3 является
   Определение 4. Пусть в начальной точке a кривой γ задан эле-

Страницы