Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1 Определение аналитической функции 5
Пусть теперь дана цепочка областей D
0
,D
1
, . . . ,D
n
(рис. 3). Пред-
положим, что существуют регулярные функции f
j
(z), z ∈ D
j
,
0 6 j 6 n, такие, что каждая последующая функция f
j+1
(z) является
непосредственным аналитическим продолжением предыдущей функ-
ции f
j
(z) из области D
j
в область D
j+1
, 0 6 j 6 n − 1.
Тогда функция f
n
(z) называется аналитическим продолжением
функции f
0
(z) вдоль цепочки областей D
0
,D
1
, . . . ,D
n
. Это продолже-
ние единственно.
Полученный набор функций {f
1
(z), f
2
(z), . . . , f
n
(z)} также на-
зывают аналитическим продолжением функции f
0
(z) вдоль цепочки
областей D
0
, D
1
, . . . , D
n
, а функцию f
n
(z) называют результа-
том аналитического про должения функции f
0
(z) из области D
0
в
область D
n
вдоль цепочки областей D
0
, D
1
, . . . , D
n
.
D
0
D
1
D
n
D
n−1
Рис. 3.
Регулярную в области D
j
функ-
цию f
j
(z) называют элементом.
Пусть задан элемент f
0
(z), z ∈
∈ D
0
. Если существует анали-
тическое продолжение этого (ис-
ходного) элемента вдоль цепочки
областей D
0
, D
1
, . . . , D
n
, то
эту цепочку называют допусти-
мой для элемента f
0
(z), z ∈ D
0
.
Аналитической функцией (полной аналитической функцией) на-
зывается множество элементов, полученных из исходного элемента
по всем допустимым для него цепочкам областей.
Отметим, что в результате аналитического продолжения исход-
ного элемента f
0
(z), z ∈ D
0
, вдоль двух различных допустимых цепо-
чек областей в одну и ту же область D
n
могут получиться различные
эле менты. Таким образом, аналитическая функция может оказаться
неоднозначной как функция от z. Неоднозначность может получиться
уже на первом шаге аналитического продолжения (рис. 2).
Во всех случаях аналитическую функцию с исходным элементом
f
0
(z), z ∈ D
0
, будем обозначать F (z). Таким образом, аналитическая
                § 1 Определение аналитической функции                  5


    Пусть теперь дана цепочка областей D0 ,D1 , . . . ,Dn (рис. 3). Пред-
положим, что существуют регулярные функции fj (z), z ∈ Dj ,
0 6 j 6 n, такие, что каждая последующая функция fj+1 (z) является
непосредственным аналитическим продолжением предыдущей функ-
ции fj (z) из области Dj в область Dj+1 , 0 6 j 6 n − 1.
    Тогда функция fn (z) называется аналитическим продолжением
функции f0 (z) вдоль цепочки областей D0 ,D1 , . . . ,Dn . Это продолже-
ние единственно.
    Полученный набор функций {f1 (z), f2 (z), . . . , fn (z)} также на-
зывают аналитическим продолжением функции f0 (z) вдоль цепочки
областей D0 , D1 , . . . , Dn , а функцию fn (z) называют результа-
том аналитического продолжения функции f0 (z) из области D0 в
область Dn вдоль цепочки областей D0 , D1 , . . . , Dn .
Регулярную в области Dj функ-
цию fj (z) называют элементом.
Пусть задан элемент f0 (z), z ∈                               Dn−1
                                            D1
∈ D0 . Если существует анали-
тическое продолжение этого (ис-         D0                          Dn
ходного) элемента вдоль цепочки
областей D0 , D1 , . . . , Dn , то
                                                    Рис. 3.
эту цепочку называют допусти-
мой для элемента f0 (z), z ∈ D0 .
    Аналитической функцией (полной аналитической функцией) на-
зывается множество элементов, полученных из исходного элемента
по всем допустимым для него цепочкам областей.
    Отметим, что в результате аналитического продолжения исход-
ного элемента f0 (z), z ∈ D0 , вдоль двух различных допустимых цепо-
чек областей в одну и ту же область Dn могут получиться различные
элементы. Таким образом, аналитическая функция может оказаться
неоднозначной как функция от z. Неоднозначность может получиться
уже на первом шаге аналитического продолжения (рис. 2).
    Во всех случаях аналитическую функцию с исходным элементом
f0 (z), z ∈ D0 , будем обозначать F (z). Таким образом, аналитическая

Страницы