Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

23
мой функций выпукл в интервале (−∞, –2) и вогнут в (−2, +∞). Так как
3
e2)2(
−
−=−f
, то по
достаточному условию точки перегиба (–2, –2e
–3
) является точкой перегиба.
8. Найти все асимптоты графика функции )(xfy
=
.
1)
4
2
−
=
x
x
y , 2)
x
x
y
2
1
2
+
=
, 3)
1
e
−
=
x
xy
Решение. 1) Функция
4
2
−
=
x
x
y
не определена при x
2
– 4 = 0. Следовательно, x = –2 и
x=2 являются точками разрыва. Так как односторонние пределы
+∞=
−
+−→
4
lim
2
02
x
x
x
, −∞=
−
−−→
4
lim
2
02
x
x
x
, +∞=
−
+→
4
lim
2
02
x
x
x
, −∞=
−
−→
4
lim
2
02
x
x
x
,
то прямые x = –2 и x = 2 являются вертикальными асимптотами.
Поскольку
0
4
lim
2
=
−
∞±→
x
x
x
, то прямая y=0 является горизонтальной асимптотой при
x
→ ±∞. Наклонных асимптот при x→ ±∞ нет, поскольку при этих условиях есть горизон-
тальная асимптота.
Итак, x = –2 и x = 2 – вертикальные асимптоты, y = 0 – горизонтальная асимптота при
x
→ ±∞.
2) Так как функция
x
x
y
2
1
2
+
=
не определена при x = 0 и односторонние преде-
лы
+∞=
+
+→
x
x
x
2
1
lim
2
00
,
−∞=
+
−→
x
x
x
2
1
lim
2
00
, то прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.
Найдем наклонные асимптоты. По формулам (7) найдем угловой коэффициенты k и b:
0
2
212
lim
22
1
lim,
2
1
2
1
lim
222
2
2
=
−+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
==
+
=
±∞±∞±∞ →→→
x
xxx
x
x
b
x
x
k
xxx
. Следовательно, прямая
xy
2
1
=
является наклонной асимптотой при x→ ±∞.
Итак, x = 0 – вертикальная асимптота,
xy
2
1
=
– наклонная асимптота при x→ ±∞.
3) Функция
1
e
−
=
x
xy
определена при любом действительном x,то вертикальных
асимптот нет.
Так как
==
−
−∞→
−
−∞→
x
x
x
x
e
x
xe
1
1
limlim
(по правилу Лопиталя) =
0
11
lim
1
=
∞
=
−
−
−∞→
x
x
e
, то
прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при
−∞→
x
. Поскольку
,
e
lim
1
+∞==
−
+∞→
x
x
k
x
x
то при
+∞→
x
нет ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.
Итак, y = 0 – горизонтальная асимптота при
−
∞→
x
.
9. Провести полное исследование функции
)1(2
2
−
=
x
x
y
и построить ее график.
Решение. Будем следовать схеме исследования функции построения графика из п.13.
1) Область определения функции – множество всех действительных чисел без –1.
2) Функция не является четной, нечетной, периодической.
3) Исследуем функцию на монотонность, экстремумы. 
                                                             23


мой функций выпукл в интервале (−∞, –2) и вогнут в (−2, +∞). Так как f (−2) = −2 e −3 , то по
достаточному условию точки перегиба (–2, –2e–3) является точкой перегиба.
       8. Найти все асимптоты графика функции y = f (x) .
                       x                                 x2 +1
       1) y =             ,                     2) y =         ,                 3) y = x e x −1
                     x −4
                      2
                                                          2x
                                             x
       Решение. 1) Функция y =                    не определена при x2 – 4 = 0. Следовательно, x = –2 и
                                           x2 − 4
x=2 являются точками разрыва. Так как односторонние пределы
                       x                           x                          x                        x
          lim             = +∞ ,     lim              = −∞ ,        lim          = +∞ ,      lim          = −∞ ,
        x → −2 + 0   x −4
                      2            x → −2 − 0    x −4
                                                  2                x→2+ 0   x −4
                                                                             2              x →2−0   x −4
                                                                                                      2


то прямые x = –2 и x = 2 являются вертикальными асимптотами.
                                 x
          Поскольку lim 2             = 0 , то прямая y=0 является горизонтальной асимптотой при
                       x→± ∞ x − 4

x→ ±∞. Наклонных асимптот при x→ ±∞ нет, поскольку при этих условиях есть горизон-
тальная асимптота.
          Итак, x = –2 и x = 2 – вертикальные асимптоты, y = 0 – горизонтальная асимптота при
x→ ±∞.
                                         x2 +1
          2) Так как функция y =                 не определена при x = 0 и односторонние преде-
                                          2x
            x2 +1                   x 2 +1
лы lim             = +∞ , lim               = −∞ , то прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.
   x →0 + 0   2x            x →0− 0   2x
          Найдем наклонные асимптоты. По формулам (7) найдем угловой коэффициенты k и b:
             x2 + 1 1                 ⎛ x2 + 1 x ⎞          2x 2 + 1 − 2x 2
k = lim            =    ,  b =  lim   ⎜        −    ⎟ = lim                 = 0 . Следовательно, прямая
     x → ±∞ 2 x 2     2        x → ±∞ ⎜ 2 x      2 ⎟⎠ x →±∞       2x
                                      ⎝
     1
y=     x является наклонной асимптотой при x→ ±∞.
     2
                                                 1
        Итак, x = 0 – вертикальная асимптота, y = x – наклонная асимптота при x→ ±∞.
                                                 2

       3) Функция y = x e x −1 определена при любом действительном x,то вертикальных
асимптот нет.
                                         x                                    1      1
       Так как lim xe x −1 = lim 1− x = (по правилу Лопиталя) = lim                 = = 0 , то
                    x → −∞      x → −∞ e                             x → −∞ − e1− x  ∞
прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при x → −∞ . Поскольку
          x e x −1
k = lim            = +∞ , то при x → +∞ нет ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.
   x → +∞    x
       Итак, y = 0 – горизонтальная асимптота при x → −∞ .
                                                        x2
       9. Провести полное исследование функции y =             и построить ее график.
                                                     2( x − 1)
       Решение. Будем следовать схеме исследования функции построения графика из п.13.
      1) Область определения функции – множество всех действительных чисел без –1.
      2) Функция не является четной, нечетной, периодической.
      3) Исследуем функцию на монотонность, экстремумы.

Страницы