Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 21 стр.

                                                             21


                                                                  ′
                                                 ′ (cos 3 x )             − 3 sin 3 x
                                y = (ln cos 3 x ) =                   =               = −3 tg 3 x .
                                                        cos 3 x            cos 3 x
      12) По формуле (2) и формулам 16 и 4 таблицы имеем
                                   ′                      ′
                        ⎛      1⎞
                  y ′ = ⎜ arctg ⎟ =
                                          1
                                                  ⋅
                                                    ⎛1⎞
                                                    ⎜   ⎟   =
                                                                x2
                                                                      − x −2 = − 2(
                                                                                  1
                                                                                      .  )
                        ⎝      x ⎠   1 + (1 x ) 2
                                                      x
                                                    ⎝ ⎠       x 2
                                                                  + 1           x  +1

      2. Найти производные высших порядков функции y = f ( x) и их значения.
                  x
      1) y = sin 2 , найти f ′′( x), f (3) ( x), f ′′(π 2), f (3) (π 2) .
                  2
      2) y = ln(2 − 3 x), .найти f ′′( x), f (3) ( x), f ( 3) (0) .
                                                              ′                      ′
                                               x⎛          x⎞           x    x⎛x⎞             x      x 1 1
      Решение. 1) f ′(x) = 2 sin ⎜ sin ⎟ = 2 sin cos ⎜ ⎟ = 2 sin cos ⋅ = sin x .
                                               2⎝          2⎠          2     2⎝2⎠             2      2 2 2
                                                  ′
                               ′ ⎛1             ⎞         1           ⎛π ⎞      1      π
       f ′′( x) = ( f ′( x) ) = ⎜ sin x ⎟ = cos x . f ′′⎜ ⎟ = − cos = 0.
                                   ⎝2           ⎠         2           ⎝2⎠       2      2
                                                      ′
                                 ′ ⎛1               ⎞        1              ⎛π ⎞       1    π       1
       f ( 3) ( x) = ( f ′′( x) ) = ⎜ cos x ⎟ = − sin x . f (3) ⎜ ⎟ = − sin = − .
                                     ⎝2             ⎠        2              ⎝2⎠        2    2       2
                                       ′     (2 − 3x)′              3
      2) f ′( x) = (ln(2 − 3 x) ) =                         =−          .
                                               2 − 3x            2 − 3x
                                   ′
                    ⎛       3 ⎞              3′(2 − 3 x) − 3(2 − 3 x)′              9
       f ′′( x) = ⎜ −             ⎟ =−                                     =−            .
                    ⎝ 2 − 3x ⎠                          (2 − 3x)              (2 − 3x) 2
                                                                 2


                                           ′
                      ⎛          9       ⎞          9′(2 − 3 x) 2 − 9((2 − 3 x) 2 )′     − 18(2 − 3 x)(2 − 3 x)′       54
       f ( 3) ( x) = ⎜⎜ −             2 ⎟
                                         ⎟   =  −                                    =−                          =−            .
                      ⎝ (2 − 3 x) ⎠                             (2 − 3x)                       ( 2 − 3x)            (2 − 3x) 3
                                                                         4                               4


                                 54               27
          f ( 3) (0) = −                     =−          .
                           ( 2 − 3 ⋅ 0)  3
                                                    4

      3. Для функций, заданных параметрически, найти указанные производные.
          ⎧ x = 3 sin t + sin 3t ,          dy ⎛ dy ⎞
       1) ⎨                          найти     , ⎜ ⎟ .
          ⎩ y = 3  cos t + cos 3 t ,        dx ⎜⎝ dx ⎟⎠ t =0
          ⎧ x = t 2 + 2t ,                dy ⎛ dy ⎞
       2) ⎨                        найти     , ⎜ ⎟ .
          ⎩ y = ln(t + 1),                dx ⎜⎝ dx ⎟⎠ t =1

     Решение. 1) Находим производные от x и от y по параметру t
                        dx                        dy
                           = 3 cos t + 3 cos 3t ,     = −3 sin t − 3 sin 3t .
                        dt                        dt
Искомую производную от y по x находим по формуле (3):
               dy                                 t + 3t        t − 3t
                                            2 sin         ⋅ cos
          dy dt       3(sin t + sin 3t )             2            2 = − sin 2t = − tg 2t .
             =    =−                     =−
          dx dx       3(cos t + cos 3t )           t + 3t       t − 3t      cos 2t
                                            2 cos         ⋅ cos
               dt                                    2             2