Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

19
5) Отметим начало координат, к которой “подходит” график слева, и точку С (2, 0) пе-
ресечения графика с осью Ох.
6) Так как
∞
−
=
−∞→
)(lim xy
x
и
∞
+
=
+∞→
)(lim xy
x
, то при x →-∞ график “уходит” вниз, а
при x →+∞
- вверх.
7) Поскольку прямая у = х
–
3 асимптота при x →-∞, то проводим кривую от А влево и
вниз так, чтобы она приближалась к прямой у = х
–
3. При этом выпуклость направим вверх.
Затем от точки А проводим кривую вправо и вниз, приближая ее к асимптоте х = 0. При этом
выпуклость по-прежнему направим вверх. Соединим начало координат с точкой перегиба D
“убывающей” кривой выпуклостью вверх. Соединим точку D с точкой В “убывающей” кри-
вой выпуклостью вниз. Соединим
точку В с точкой С “возрастающей” кривой выпуклостью
вниз. Наконец, проводим от точки С кривую вправо и вверх выпуклостью вниз так, чтобы
она приближалась к асимптоте у = х
–
3.
8) Для контроля сравниваем полученный эскиз графика с результатами исследования
функции. Интервалы монотонности и экстремумы, интервалы выпуклости и вогнутости, точ-
ки перегиба эскиза графика совпадают с результатами исследования. Поведение графика на
эскизе вблизи асимптот и при больших по модулю значениях переменной х согласуется с
результатами исследования.
9) Для уточнения графика
найдем несколько точек вблизи асимптот.
.39.3)6(,15.8)1(,55.8)5(
≈
−≈
−
−≈− yyy Соответствующие точки на рис. 9 обозна-
чены буквами P, Q, T . На рис. 9 приведен увеличенный фрагмент
F графика, где более точно
изображено поведение графика около точки перегиба D.
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найти производные следующих функций.
1) 45
2
+−= xxy ; 2)
32
3
3
115
xx
x
xy +−+=
;
3)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
25
3
3
2 x
x
xy
; 4)
1
2
2
+
=
x
x
y
;
5)
()
x
x
y
2
1−
=
; 6)
(
)
3
51 xy += ;
7)
xy 5sin=
; 8)
xy
2
cos=
;
9)
2
sin xy =
; 10)
3
4
2 xy +=
;
11)
xy 3cosln=
; 12)
x
y
1
arctg=
.
Решение. 1)
520152)4()5()()45(
22
−=+⋅−=
′
+
′
−
′
=
′
+−=
′
xxxxxxy
(по правилам
дифференцирования (1), (2) и формулам 1 и 4 таблицы ).
2) Преобразуем данную функцию к виду
32
3
1
2
1
3
1
5
−−
−
+−+= xxxxy
.
Применяя правила (1), (2) и формулу 4 таблицы, получим 
                                                  19


     5) Отметим начало координат, к которой “подходит” график слева, и точку С (2, 0) пе-
ресечения графика с осью Ох.
     6) Так как lim y ( x) = − ∞ и lim y ( x) = + ∞ , то при x →-∞ график “уходит” вниз, а
                    x → −∞              x → +∞

при x →+∞ - вверх.
      7) Поскольку прямая у = х – 3 асимптота при x →-∞, то проводим кривую от А влево и
вниз так, чтобы она приближалась к прямой у = х – 3. При этом выпуклость направим вверх.
Затем от точки А проводим кривую вправо и вниз, приближая ее к асимптоте х = 0. При этом
выпуклость по-прежнему направим вверх. Соединим начало координат с точкой перегиба D
“убывающей” кривой выпуклостью вверх. Соединим точку D с точкой В “убывающей” кри-
вой выпуклостью вниз. Соединим точку В с точкой С “возрастающей” кривой выпуклостью
вниз. Наконец, проводим от точки С кривую вправо и вверх выпуклостью вниз так, чтобы
она приближалась к асимптоте у = х – 3.
     8) Для контроля сравниваем полученный эскиз графика с результатами исследования
функции. Интервалы монотонности и экстремумы, интервалы выпуклости и вогнутости, точ-
ки перегиба эскиза графика совпадают с результатами исследования. Поведение графика на
эскизе вблизи асимптот и при больших по модулю значениях переменной х согласуется с
результатами исследования.
     9) Для уточнения графика найдем несколько точек вблизи асимптот.
      y ( −5) ≈ −8.55, y ( −1) ≈ −8.15, y (6) ≈ 3.39. Соответствующие точки на рис. 9 обозна-
чены буквами P, Q, T . На рис. 9 приведен увеличенный фрагмент F графика, где более точно
изображено поведение графика около точки перегиба D.


                                     ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

      1. Найти производные следующих функций.
                                                                                  5           1     1
      1) y = x 2 − 5 x + 4 ;                           2) y = x + 3                       −     2
                                                                                                  + 3;
                                                                                      x       x    3x
                                                                      2
                 ⎛    x        ⎞                                  x
      3) y = x 5 ⎜ 2 − + 3 x 2 ⎟ ;                     4) y =                     ;
                 ⎝    3        ⎠                                 x +1
                                                                 2



      5) y =
             (1 − x )    2

                             ;                         6) y = (1 + 5 x ) ;
                                                                                  3

                  x
      7) y = sin 5 x ;                                 8) y = cos 2 x ;

      9) y = sin x 2 ;                                 10) y = 3 2 + x 4 ;
                                                                       1
      11) y = ln cos 3x ;                             12) y = arctg .
                                                                       x
    Решение. 1) y ′ = ( x − 5 x + 4)′ = ( x )′ − (5 x)′ + (4)′ = 2 x − 5 ⋅ 1 + 0 = 2 x − 5 (по правилам
                         2                 2


дифференцирования (1), (2) и формулам 1 и 4 таблицы ).
                                                             1                1
                                                                          −                1
      2) Преобразуем данную функцию к виду y = x 2 + 5 x                      3
                                                                                  − x − 2 + x −3 .
                                                                                           3
Применяя правила (1), (2) и формулу 4 таблицы, получим

Страницы