Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

17
0e
25
x
1
4
=⋅
−
−
x
x
, получим х = 2/5 = 0,4. Этой точкой разобьем область определения функции
на интервалы (рис. 8б). Чтобы определить знаки второй производной в этих интервалах,
возьмем в каждой из них по одной точке (например,
-1, 0.1, 1) и найдем знаки у″ в этих
точках: у″(
-1) < 0, у″(0.1) < 0, у″(1) > 0. Следовательно, у″< 0 в интервалах (-∞,0) и (0,
0.4), у″> 0 в интервале (0.4,+∞) (рис. 8б).
Таким образом, функция выпукла вверх в интервалах (
-∞,0) и (0, 0.4), выпукла вниз в ин-
тервале (0.4,+∞), x = 0.4 является абсциссой точки перегиба,
.13.0
ee5
8
)4.0(
2
−≈−=y
5) Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва x = 0. Найдем односторонние
пределы функции в этой точке.
−∞=−=−=−
∞+∞+
−
−→
e2e2e)2(lim
1
00
x
x
x
,
.0
e
2
e2e)2(lim
1
00
=
−
=−=−
∞+
∞−
−
+→
x
x
x
Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой при x → 0 слева, при этом
график функции бесконечно приближается к асимптоте, уходя в
-∞ (вниз).
Горизонтальных асимптот нет, так как
.e)2(lim)(lim
1
±∞=−=
−
±∞→±∞→
x
xx
xxy
Найдем наклонные асимптоты по формулам (7).
1e1e
2
lim
0
1
=⋅=
−
=
−
±∞→
x
x
x
x
k
.
)e2)1e((lim)e)2((lim
111
xx
x
x
x
xxxb
−−
±∞→
−
±∞→
−−=−−=
x
x
x
x
x
11
2elim)1e(lim
−
±∞→
−
±∞→
−−=
.
По правилу Лопиталя
1)e(lim
e
lim
)(
)1e(
lim
1e
lim)1e(lim
1
2
1
2
11
1
1
1
x
1
x
1
−=−=
−
=
′
′
−
=
−
=−
−
+∞→
−
+∞→
−
+∞→
−
+∞→
−
+∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
.2e2e2lim
0
1
==
−
±∞→
x
x
1)1e(lim
1
−=−
−
±∞→
x
x
x
.
Таким образом, b =
-3 и прямая у = х
–
3 является наклонной асимптотой при x →±∞.
Рисунок 8 
                                                                                                     17


                   1
 5x − 2 − x
       ⋅ e = 0 , получим х = 2/5 = 0,4. Этой точкой разобьем область определения функции
   x4
на интервалы (рис. 8б). Чтобы определить знаки второй производной в этих интервалах,
возьмем в каждой из них по одной точке (например, -1, 0.1, 1) и найдем знаки у″ в этих
точках: у″(-1) < 0, у″(0.1) < 0, у″(1) > 0. Следовательно, у″< 0 в интервалах (-∞,0) и (0,
0.4), у″> 0 в интервале (0.4,+∞) (рис. 8б).
Таким образом, функция выпукла вверх в интервалах (-∞,0) и (0, 0.4), выпукла вниз в ин-




                                                                                Рисунок 8



                                                                                                                                                                             8
тервале (0.4,+∞), x = 0.4 является абсциссой точки перегиба, y (0.4) = − ≈ −0.13.                                                                                            2
                                                                   5e e
      5) Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва x = 0. Найдем односторонние
пределы функции в этой точке.
                                             1                                                                                                   1
                                         −                                                                                                   −                                        −2
             lim ( x − 2)e                   x
                                                     = −2e + ∞ = −2e + ∞ = −∞ , lim ( x − 2)e                                                    x
                                                                                                                                                         = −2 e − ∞ =                      = 0.
          x →0− 0                                                                                         x →0+ 0                                                                     e+ ∞
Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой при x → 0 слева, при этом
график функции бесконечно приближается к асимптоте, уходя в -∞ (вниз).
                                                                                                                                                                         1
                                                                                                                                                                     −
         Горизонтальных асимптот нет, так как lim y ( x) = lim ( x − 2)e                                                                                                 x
                                                                                                                                                                                 = ±∞.
                                                                                                      x → ±∞                        x → ±∞
         Найдем наклонные асимптоты по формулам (7).
                                                 1
                                x − 2 −x
         k = lim                     e = 1 ⋅ e0 = 1 .
                       x → ±∞     x
                                                     1                                          1                  1                                     1                                    1
                                                 −                                          −                  −                                     −                                    −
         b = lim (( x − 2)e                          x
                                                         − x) = lim ( x(e                       x
                                                                                                    − 1) − 2e x ) = lim x(e                              x
                                                                                                                                                             − 1) − lim 2e                    x
                                                                                                                                                                                                  .
                       x → ±∞                                            x → ±∞                                                    x → ±∞                                        x → ±∞

По правилу Лопиталя
                                                                                                                               1
                                                 1                                      1                                  −
                                                                                                               1
               1                             −                                      −                                  e       x
                                                                                      − 1)′
                                                                                                                                                                 1
             −                           e       x
                                                         −1                    (e       x
                                                                                                     2                                                       −
lim x(e        x
                   − 1) = lim                                 = lim                  1 ′
                                                                                            = lim x                                = lim (−e ) = −1 .            x
x → +∞                          x → +∞               1
                                                     x
                                                                      x → +∞        (x)       x → +∞ −                 1              x → +∞
                                                                                                                       x2
             1                                                    1
         −                                                    −
lim 2e       x
                   = 2e0 = 2. lim x(e                             x
                                                                       − 1) = −1 .
x → ±∞                                   x → ±∞

         Таким образом, b = -3 и прямая у = х – 3 является наклонной асимптотой при x →±∞.

Страницы