Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 15 стр.

                                                         15


     Решение. Областью определения функции является множество всех решений неравен-
ства 1 + 1x > 0. Решим его: 1 + 1x > 0 ⇔ 1+x x > 0 ⇔ x < −1 или x > 0 . Найдем односторонние

пределы в границах области определения х = −1 и х = 0:

                             x → −1− 0
                                         ( (   ) )        x →0+ 0
                                                                    ( (   ) )
                              lim ln 1 + 1x + 1 = −∞, lim ln 1 + 1x + 1 = +∞ .

Следовательно, прямая x = −1 является вертикальной асимптотой при у→ − ∞, а прямая x
= 0 является вертикальной асимптотой при у→ +∞ (рис. 6в).
                       ( (       ) )
     Так как lim ln 1 + 1x + 1 = 1 , то прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой при
              x → ±∞

x →± ∞ (рис. 6в). Наклонных асимптот нет.

     14. Исследование функции и построение ее графика. Сначала приведем определения
четной, нечетной, периодической функции.
     Функция y=f(x) называется четной (нечетной), если для каждой точки x из области оп-
ределения она определена в точке −x и f(−x) = f(x) (соответственно f (−x) = f (−x) ). График
четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной функции симметричен отно-
сительно начала координат (рис. 7а, 7б).
     Функция y = f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для любого значе-
ния x из области определения она определена в точке x+T и f (x) = f (x+T). Пусть T– наи-
меньший положительный период. График периодической функции с периодом T получается
повторением части графика, построенной на отрезке длины T (рис. 7в).
      Примерами четных функций являются cosx, chx, |x|, x2. Нечетные функции: sin x, sh x, tg
x, ctg x, th x, cth x, x3. Периодические функции: sin x, cosx, (наименьший положительный
период 2π), tg x, ctg x, (наименьший положительный период π).




                                                     Рисунок 7


    Схема исследования функции. Исследование функции y=f(x) и построение ее графика
можно проводить по следующей схеме.
    1) Найти область определения.
    2) Исследовать на четность, нечетность и периодичность.
    3) Исследовать функцию на монотонность, экстремумы.
    4) Исследовать функцию на направление выпуклости и точки перегиба.
    5) Исследовать функцию на асимптоты.
    6) Найти точки пересечения графика функции с осями системы координат.