Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 13 стр.

                                                           13


                     ′
          ⎛ x ⎞            x 2 − 4 − 2x 2           x2 + 4                 2 x( x 2 − 4) 2 − 2( x 2 − 4)2 x( x 2 + 4)
     y′ = ⎜ 2       ⎟ =                    =   −              .   y ′
                                                                    ′  = −                                            =
          ⎝ x −4⎠             ( x 2 − 4) 2       ( x 2 − 4) 2                              ( x 2 − 4) 4
         2 x( x 2 − 4) 2 − 2( x 2 − 4)2 x( x 2 + 4)       2 x( x 2 − 4 − 2 x 2 − 8) 2 x( x 2 + 12)
     =−                                               = −                             =                 .
                         ( x 2 − 4) 4                             ( x 2 − 4) 3             ( x 2 − 4)3




                                                       Рисунок 5

    y″=0 при x = 0. y″ не существует при x = ±2, но они не входят в область определения
функции, поэтому они не могут быть абсциссами точек перегиба.

      3) Разобьем область определения точкой x = 0 на интервалы (– ∞, -2), (-2, 0), (0, 2), (2,
+∞), в каждом из которых вторая производная сохраняет знак.
      Определим знак второй производной в каждом из этих интервалов. В точке x=-3 из
интервала (– ∞, -2) y″< 0, следовательно, y″< 0 во всем интервале (– ∞, -2). Аналогично оп-
ределяем, что y″ > 0 в интервалах (-2, 0) и (2, +∞), y″ < 0 в интервале (0, 2) (рис. 5а).
      4) Функция выпукла вверх в интервалах (– ∞, -2), (0, 2), выпукла вниз в интервалах
(-2, 0), (2, +∞).
      5) В интервалах (-2, 0), (0, 2) y″ имеет разные знаки. Значит, (0, 0) является точкой пе-
региба функции.
      На рисунке 5б приведен схематически график функции.
       13. Асимптоты графика функции. Пусть M(x, y) − точка графика функции y=f(x). Бу-
дем говорить, что точка M бесконечно удаляется в бесконечность по графику, если она дви-
жется по графику так, что либо x → ± ∞, либо y→ ± ∞. При этом считаем, что функция опре-
делена в соответствующих множествах.
       Определение 6. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если при
удалении точки M в бесконечность по графику, расстояние от M до этой прямой стремится к
нулю (рис. 6а).
       Вертикальная (горизонтальная) асимптота − это асимптота, параллельная оси Оу (со-
ответственно Ох). Остальные асимптоты называются наклонными.
       На рис. 6б и 6в прямые х = 2, х = 0 и х = −1 являются вертикальными асимптотами,
прямая у = 1 − горизонтальной, прямая у = х+2 − наклонной.
       Нахождение вертикальных асимптот. Если x0− точка бесконечного разрыва функции
y = f(x), то прямая x = x0 является вертикальной асимптотой. Например, если
                                       lim f (x) = −∞,
                                            x →x − 0
                                                0

то точка графика при y → −∞ бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте
x = x0 с левой стороны (рис. 6в, x0= −1).