Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 11 стр.

                                                              11


      Замечание 10. Если в интервале слева и справа от x0 производная имеет один и тот же
знак, то x0 не является точкой экстремума. При этом, если функция непрерывна в этой точке,
то функция монотонна в целом в этих двух интервалах (рис 3а).




                                                       Рисунок 3

     Пример. 13) Исследовать функцию y = 3 x 2 − 4x на экстремум и монотонность.
     Решение. 1) Область определения – множество всех действительных чисел R.
                                  ′
              ⎛                 ⎞ 1 2                          ′       2x − 4
               (            )        (         ) (x           )
                            1                      2
                                               −
     2) y′ = ⎜⎜ x 2 − 4 x   3   ⎟⎟ = x − 4 x       3   2
                                                           − 4x =                      .
              ⎝                  ⎠ 3                                   (
                                                                    33 x 2 − 4 x   )
                                                                                   2



Найдем критические точки. Решим уравнение y′ = 0: 2 x − 4 = 0 ⇒ x = 2 −критическая. y′ не
существует при 3 x 2 − 4 x = 0 ⇒ x (x – 4) = 0 ⇒ x = 0 или x = 4 . Эти точки входят в область
определения функции, следовательно, являются критическими.
      3) Разобьем область определения R критическими точками 0, 2, 4 на интервалы
(– ∞, 0), (0, 2), (2, 4), (4, +∞) (рис. 3а), в каждой из которых производная сохраняет знак.
Найдем знаки производной в этих интервалах. Для этого выберем по одной точке из этих ин-
тервалов (например, –1 ∈ (– ∞, 0), 1 ∈ (0, 2), 3 ∈ (2, 4), 5 ∈ (4, +∞)) и определим знаки производ-
ной y′ в этих точках: y′(−1) < 0, y′(1) < 0, y′(3) > 0, y′(5) > 0. Следовательно, y′ < 0 в интер-
валах (– ∞, 0), (0, 2) и y′ > 0 в интервалах (2, 4), (4, +∞).
      4) Функция убывает в интервалах (– ∞, 0) и (0, 2), возрастает в интервалах (2, 4) и
(4, +∞). Однако можно сделать более сильный вывод. В самом деле, в окрестностях критиче-
ских точек x = 0 и x = 4 производная не меняет знака, значит, они не являются точками экс-
тремума. В силу замечания 10 функция убывает в интервале (– ∞, 2) и возрастает в интервале
(2, +∞). Заметим, что y′(0) = – ∞, y′(4) = +∞, следовательно, в точках (0, 0) и (4, 0) касатель-
ные параллельны оси Оу (рис.3б).
      5) Критическая точка x = 2 является точкой минимума (рис. 3а).
     На рисунке 3б изображен схематически график функции y = 3 x 2 − 4x .
      12. Направление выпуклости функции. Точки перегиба. Пусть функция y=f(x) имеет
конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала Х = (а, b). Обозначим
Г(Х) дугу графика функции f(x), соответствующую интервалу X.
      Определение 5. Если дуга Г(Х) лежит не ниже (не выше) касательной к графику функ-
ции y=f(x), проведенной в любой точке M ∈ Г(Х), то функция или график функции называется
выпуклым вниз (соответственно выпуклым вверх) в интервале X (рис. 4а).