Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 10 стр.

                                             10


стности f(x) > f(x0) (соответственно f(x) < f(x0)). Значение функции f(x0) называется миниму-
мом (соответственно максимумом).
     На рисунке 2а b – точка минимума, c – точка максимума.
     Под экстремумом понимается либо минимум, либо максимум.
     Точка x0 из области определения функции y=f(x), называется критической точкой, если
либо f(x) дифференцируема в x0 и f ′(x0) = 0, либо f(x) не дифференцируема в x0. На рис. 2б и
2в точка x0 – критическая.




                                         Рисунок 2

      Необходимое условие экстремума. Если x0 − точка экстремума функции f (x), то она
является критической точкой этой функции.
      На рис. 2б критическая точка x0 является точкой экстремума, а на рис. 2в критическая
точка x0 не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая точка являет-
ся точкой экстремума.
      Первое достаточное условие экстремума. Пусть x0 − критическая точка функции
y=f(x). Если в некоторой окрестности точки x0 слева от нее производная f ′(x) принимает
один знак, а справа от нее − противоположный, то x0− точка экстремума. При этом если слева
f’(x)>0, справа f ′(x)<0, то x0− точка максимума, в противном случае x0− точка минимума. Если
в некоторой проколотой окрестности точки x0 производная f ′(x) принимает один знак, то x0 не
является точкой экстремума. Если к тому же f (x) непрерывна в x0, то функция монотонна в
этой окрестности (рис. 2в).
      Второе достаточное условие экстремума. Пусть f ′(x0)=0 и существует f′′( x0). Тогда
если f ′′( x0)>0, то x0− точка максимума. Если же f ′′( x0)<0, то x0− точка минимума.
      Этим достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно
установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.
      Правило нахождения точек экстремума и промежутков монотонности.
      1) Найти область определения функции f(x).
      2) Найти все критические точки функции f(x). Для этого найти производную, решить
уравнение f ′(x)=0 и найти точки x из области определения, в которых f ′(x) не существует.
      3) Разбить область определения критическими точками на промежутки и в них найти
знаки производной.
      4) В промежутках, где производная положительна, функция возрастает, а в промежут-
ках, где производная отрицательна, функция убывает.
      5) Точки экстремума ищем среди критических точек. Пусть x0 – критическая точка. Ес-
ли в интервале слева от x0 производная положительна (отрицательна), а справа отрицательна
(положительна), то x0 − точка максимума (минимума).