Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

8
9. Правило Лопиталя. Это правило нахождения некоторых пределов функций при по-
мощи производных. Правило Лопиталя задается следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть 1) функции f (x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой
окрестности
*
точки а, 2)
0)(lim)(lim
=
=
→→
xgxf
axax
(или ∞), 3) g(x) ≠ 0 и g’(x) ≠ 0 в этой окре-
стности. Тогда, если существует
)(
)(
lim
xg
xf
ax
′
′
→
, то существует
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
и верно равенство
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax
′
′
=
→→
.
Замечание 4. Теорема верна и для случая а = ∞ (+∞, – ∞).
Замечание 5. Теорема верна и для случая
.
)(
)(
lim ∞=
′
′
→
xg
xf
ax
Замечание 6. Из условий теоремы следует, что функция
)(
)(
xg
xf
является неопределен-
ностью вида
0
0
(
)
∞
∞
или при a
x
→ , следовательно, теорема позволяет в некоторых случаях
раскрыть эти неопределенности.
Замечание 7. Часто правило Лопиталя применяется повторно следующим образом.
Пусть при выполнении условий 1)
– 3) теоремы
)(
)(
xg
xf
′
′
является неопределенностью вида
0
0
(
)
∞
∞
или . Тогда правило Лопиталя применяется повторно к
)(
)(
xg
xf
′
′
и т. д. Если после не-
скольких повторных применений правила будет получено конечное или бесконечное значе-
ние, то оно будет равно
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
.
Примеры. 9) Найти предел
.
)1ln(
ee
lim
0
x
xx
x
+
−
−
→
Решение. Функции f (x) = e
x
– e
-
x
и g(x) = ln(1+x) удовлетворяют условиям 1) – 3) тео-
ремы 2, причем имеет место неопределенность вида
0
0
.
Применим правило Лопиталя:
.2
)1(1
ee
)1(1
ee
lim
))1(ln(
)e(e
lim
)1ln(
ee
lim
0
000
=
+
+
=
+
+
=
′
+
′
−
=
+
−
=
−−
→
−
→
−
→
x
xxxx
xxxxxxxx
xxx
10) Найти предел
.
5sin
13e
lim
2
0
3
x
x
x
x
−−
→
Решение. Имеет место неопределенность вида
0
0
. Применим правило Лопиталя.
.
5cos5sin10
3e3
lim
)5(sin
)13(e
lim
5sin
13e
lim
333
0
2
0
2
0
xxx
x
x
x
xxx
xxx
⋅
−
=
′
′
−−
=
−−
→→→
*
проколотой окрестностью точки а
называется ее окрестность без а 
                                                                   8


     9. Правило Лопиталя. Это правило нахождения некоторых пределов функций при по-
мощи производных. Правило Лопиталя задается следующей теоремой.
     Теорема 2. Пусть 1) функции f (x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой
окрестности* точки а, 2) lim f ( x) = lim g ( x) = 0 (или ∞), 3) g(x) ≠ 0 и g’(x) ≠ 0 в этой окре-
                                    x→a            x→a

                                                       f ′( x)                              f ( x)
стности. Тогда, если существует lim                            , то существует lim                  и верно равенство
                                                x → a g ′( x )                         x→ a g ( x )

                                                         f ( x)             f ′( x)
                                                  lim             = lim              .
                                                  x → a g ( x)        x → a g ′( x )


        Замечание 4. Теорема верна и для случая а = ∞ (+∞, – ∞).
                                                      f ′( x)
        Замечание 5. Теорема верна и для случая lim            = ∞.
                                                x → a g ′( x )

                                                                                                f ( x)
        Замечание 6. Из условий теоремы следует, что функция                                           является неопределен-
                                                                                                g ( x)
ностью вида 00 (или ∞  ∞ ) при x → a , следовательно, теорема позволяет в некоторых случаях
раскрыть эти неопределенности.
      Замечание 7. Часто правило Лопиталя применяется повторно следующим образом.
                                                     f ′( x)
Пусть при выполнении условий 1) – 3) теоремы                 является неопределенностью вида
                                                     g ′( x)
 0 (или ∞ ) . Тогда правило Лопиталя применяется повторно к f ′( x) и т. д. Если после не-
 0      ∞
                                                                   g ′( x)
скольких повторных применений правила будет получено конечное или бесконечное значе-
                               f ( x)
ние, то оно будет равно lim            .
                          x→ a g ( x )


                                                         e x − e− x
        Примеры. 9) Найти предел lim                                .
                                                  x → 0 ln(1 + x )



    Решение. Функции f (x) = ex – e-x и g(x) = ln(1+x) удовлетворяют условиям 1) – 3) тео-
ремы 2, причем имеет место неопределенность вида 00 . Применим правило Лопиталя:
               e x − e− x         (e x − e − x )′          e x + e− x    e x + e− x
        lim               = lim                   = lim               =                      = 2.
        x → 0 ln(1 + x )    x → 0 (ln(1 + x ))′     x → 0 1 (1 + x )    1 (1 + x)     x =0

                                       e3 x − 3 x − 1
        10) Найти предел lim                          .
                                  x →0   sin 2 5 x
        Решение. Имеет место неопределенность вида 00 . Применим правило Лопиталя.
            e3 x − 3 x − 1        (e3 x − 3 x − 1)′              3 e3 x − 3
        lim                = lim                    = lim                        .
        x→0   sin 2 5 x      x →0   (sin 2 5 x)′      x → 0 10 sin 5 x ⋅ cos 5 x




*
    проколотой окрестностью точки а называется ее окрестность без а

Страницы