Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

7
Замечание 2. Пусть )(
0
xf
′
=+∞ (или – ∞). Тогда касательная к графику функции
)(
xfy = в точке M
0
параллельна оси Оу, а уравнение касательной имеет вид х=x
0
(рис.1б).
Замечание 3. Если )(
0
xf
′
=0, то касательная к графику функции
)(xfy =
в точке M
0
параллельна оси
Ох (рис.1в).
Пример. 7) Найти уравнения касательной и нормали к параболе y = x
2
в точке с абс-
циссой 2.
Решение. Пусть
x
0
=2, f(x) = x
2
. Тогда , f(x
0
) = 4, f ′(x) = 2x, f ′(x
0
) = 4. По формуле (5)
получаем уравнение касательной:
y – 4 = 4(x – 2) или y − 4x + 4 = 0. По формуле (6) получаем
уравнение нормали: 4(
y – 4) + x – 2 = 0 или x + 4 y
−
18 = 0.
8. Производные высших порядков.
Пусть функция
)(
xfy
=
имеет производную
)(
/
xf
в каждой точке
x
некоторого множества
D
. Тогда ее производную
)(
/
xf
можно рас-
сматривать как функцию, определенную на множестве
D
. В свою очередь функция
)(
/
xf
может в некоторых точках множества
D
иметь производную. В этом случае производной
второго порядка (второй производной) называется производная от производной
//
))((( xf .
Для второй производной функции )(
xfy = в точке x применяются обозначения:
.
d
d
,),(,
2
2
)2(
x
y
yxfy
′′′′
Аналогично определяются производные 3-го, 4-го, и т.д. порядков.
Производной первого порядка (или первой производной) считается
)(
xf
′
.
Пример. 8) y = sin 3x. Найти производные 1-го, 2-го, 3-го порядков и y
(3)
(π).
Решение.
y′ = 3 cos 3x, y″ = – 9sin 3x, y
(3)
= – 27 cos 3x, y
(3)
(π) = – 27 cos 3π = 27.
Рисунок 1 
                                                        7


     Замечание 2. Пусть f ′( x0 ) =+∞ (или – ∞). Тогда касательная к графику функции
y = f ( x ) в точке M0 параллельна оси Оу, а уравнение касательной имеет вид х=x0 (рис.1б).
     Замечание 3. Если f ′( x0 ) =0, то касательная к графику функции y = f (x) в точке M0
параллельна оси Ох (рис.1в).




                                               Рисунок 1



     Пример. 7) Найти уравнения касательной и нормали к параболе y = x2 в точке с абс-
циссой 2.
     Решение. Пусть x0=2, f(x) = x2 . Тогда , f(x0) = 4, f ′(x) = 2x, f ′(x0) = 4. По формуле (5)
получаем уравнение касательной: y – 4 = 4(x – 2) или y − 4x + 4 = 0. По формуле (6) получаем
уравнение нормали: 4(y – 4) + x – 2 = 0 или x + 4 y − 18 = 0.

       8. Производные высших порядков. Пусть функция y = f ( x) имеет производную
 f ( x) в каждой точке x некоторого множества D . Тогда ее производную f / ( x) можно рас-
  /


сматривать как функцию, определенную на множестве D . В свою очередь функция f / ( x)
может в некоторых точках множества D иметь производную. В этом случае производной
второго порядка (второй производной) называется производная от производной (( f / ( x)) / .
Для второй производной функции y = f ( x) в точке x применяются обозначения:
                                                                       d2 y
                                    y ′′,   f ′′( x),       y ( 2) ,        .
                                                                       d x2
      Аналогично определяются производные 3-го, 4-го, и т.д. порядков.
      Производной первого порядка (или первой производной) считается f ′( x) .
      Пример. 8) y = sin 3x. Найти производные 1-го, 2-го, 3-го порядков и y(3)(π).
      Решение. y′ = 3 cos 3x, y″ = – 9sin 3x, y(3) = – 27 cos 3x, y(3)(π) = – 27 cos 3π = 27.

Страницы