Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

6
Решение. По формуле (1) dy = f ′ (x) dx =
.d
1
2
2
x
x
x
+
При x = 2 имеем d f (2) =
.d
5
4
x
При dx = 0,2 имеем
0,16.0,2
5
4
)2(d
2.0d
=⋅=
=x
f
5. Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции
),(tx
ϕ
=
)(ty
ψ
=
задают параметрически функцию y = f(x) в окрестности точки x =)(t
ϕ
, функции )(t
ϕ
и )(t
ψ
имеют производные
0)
≠
t
ϕ
и
)(t
ψ
в точке t. Тогда функция
)(xfy
=
также имеет произ-
водную в точке x, и верна формула
)(
)(
)(
t
t
xf
ϕ
ψ
′
=
′
. (3)
Пример. 5) x= sin 2t, y = tg 2t (– π ⁄ 4 < t < π ⁄ 4). Найти
x
y
d
d
.
Решение. По формуле (3) имеем
⋅==
′
′
=
t
t
t
t
t
x
y
2cos
1
2cos2
2cos2
)(sin2
)tg2(
d
d
3
2
6. Дифференцирование показательно-степенной функции. Для дифференцирования
показательно-степенной функции y =
)(
))((
xg
xf
)0)(( >xf
, где
)(xf
и
)(xg
− дифференци-
руемые в точке
x
функции, можно представить ее в виде
)(ln)()(
))((
xfxgxg
exf =
.
Затем дифференцировать ее как сложную функцию:
()
()
)()(ln)()(ln)(
)(
)(
)()(
)(ln)()(ln)(
xgxfxgxfxg
xf
xf
xfxg
xfxgxfxgeey ⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
⋅
+⋅
′
=
′
=
′
=
′
. (4)
Пример. 6) Найти производную функции y =
(
)
.2/2/,cos
sin
ππ
<<− xx
x
Решение. По формуле (4) имеем
()()
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+=
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
′
)(cos
cos
sin
coslncos
sin
coscoslnsin
coslnsincoslnsin
ee x
x
x
xx
x
xxxy
xxxx
()( )
.tgsincoslncoscos
sin
xxxxx
x
−=
7. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой. Пусть
)(xfy =
− дифференцируемая в точке x
0
функция, M
0
− точка на графике этой функции с ко-
ординатами x
0
и y
0
= f(x
0
),
ϕ
tgk =
− угловой коэффициент касательной, проведенной к графи-
ку функции
)(xfy =
в точке M
0
,
ϕ
()
22
π
ϕ
π
≤
<
−
− угол наклона касательной к оси абс-
цисс (рис 1
а).
Геометрический смысл производной состоит в том, что
f ′(x
0
) = k.
Уравнение касательной к графику функции
)(xfy
=
в точке M
0
имеет вид
))(()(
000
xxxfxfy
−
=−
. (5)
Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называет-
ся
нормалью к графику функции
)(
xfy =
в этой точке.
Уравнение нормали к графику функции
)(
xfy
=
в точке M
0
(x
0
, y
0
) имеет вид
0)()(
000
=
−
+
′
−
xxxfyy
. (6) 
                                                                         6


                                                                               2x                                4
            Решение. По формуле (1) dy = f ′ (x) dx =                               dx. При x = 2 имеем d f (2) = dx.
                                                                             1 + x2                              5
                                                      4
При dx = 0,2 имеем d f (2) dx=0.2 =                     ⋅ 0,2 = 0,16.
                                                      5

     5. Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции
                               x = ϕ (t ), y = ψ (t )
задают параметрически функцию y = f(x) в окрестности точки x = ϕ (t ) , функции ϕ (t ) и ψ (t )
имеют производные ϕ ′t ) ≠ 0 и ψ ′(t ) в точке t. Тогда функция y = f (x) также имеет произ-
водную в точке x, и верна формула
                                                    ψ ′(t )
                                          f ′( x) =         .                              (3)
                                                    ϕ ′(t )
                                                                     dy
       Пример. 5) x= sin 2t, y = tg 2t (– π ⁄ 4 < t < π ⁄ 4). Найти      .
                                                                     dx
                                           dy (tg2t )′ 2 cos2 2t       1
       Решение. По формуле (3) имеем            =             =    =         ⋅
                                           dx (sin2t )′ 2 cos 2t     cos3 2t
       6. Дифференцирование показательно-степенной функции. Для дифференцирования
                                                                                g ( x)
показательно-степенной функции y = ( f ( x))                                           ( f ( x ) > 0) , где f (x) и g (x ) − дифференци-
руемые в точке x функции, можно представить ее в виде
                                                               ( f ( x)) g ( x ) = e g ( x ) ln f ( x ) .
Затем дифференцировать ее как сложную функцию:
                           ′                                          ′ ⎛                                 g ( x) ⋅ f ′( x) ⎞
       (              )
 y ′ = e g ( x ) ln f ( x ) = e g ( x ) ln f ( x ) (g ( x) ln f ( x) ) = ⎜⎜ g ′( x) ⋅ ln f ( x) +
                                                                                                               f ( x )
                                                                                                                           ⎟⎟ ⋅ f ( x) g ( x ) . (4)
                                                                          ⎝                                                 ⎠
            Пример. 6) Найти производную функции y = (cos x )
                                                                                             sin x
                                                                                                     , − π / 2 < x < π / 2.
            Решение. По формуле (4) имеем
                                      ′
           y ′ = ⎛⎜ e
                      sinx ln cos x ⎞
                                    ⎟ =e
                                         sinx ln cos x
                                                       (sin x ln cos x )′ = (cos x)sinx ⎛⎜ cos x ln cos x + sin x (cos x)′ ⎞⎟ =
                  ⎝                 ⎠                                                    ⎝                  cos x           ⎠

                                               = (cos x)sinx (cos x ln cos x − sin x tgx ) .

      7. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой. Пусть
 y = f (x) − дифференцируемая в точке x0 функция, M0 − точка на графике этой функции с ко-
ординатами x0 и y0= f(x0), k = tgϕ − угловой коэффициент касательной, проведенной к графи-
ку функции y = f (x) в точке M0, ϕ (− π 2 < ϕ ≤ π 2 ) − угол наклона касательной к оси абс-
цисс (рис 1а).
      Геометрический смысл производной состоит в том, что f ′(x0) = k.
      Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке M0 имеет вид
                              y − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x − x 0 ) .                   (5)
      Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называет-
ся нормалью к графику функции y = f ( x ) в этой точке.
      Уравнение нормали к графику функции y = f ( x) в точке M0 (x0 , y0) имеет вид
                            ( y − y 0 ) f ′( x0 ) + x − x 0 = 0 .                       (6)

Страницы