Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

4
СПРАВОЧНЫЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Производная функции.
Пусть функция y =
)(xf
определена в окрестности точки x
0
,
0
xxx −=
Δ
− приращение
аргумента x, )()()(
000
xfxxfxf
−
Δ+
=
Δ− приращение функции (рис 1а).
Определение 1. Производной функции
)(xf в точке x
0
называется конечный предел
x
xf
x
Δ
Δ
→Δ
)(
lim
0
0
, если он существует.
Производная функции )(xf в точке x
0
обозначается )(
0
xf
′
или
x
xf
d
)(d
0
. Через y′ или
x
y
d
d
обозначают производную функции y =
)(xf в точке x.
Замечание 1. Пусть предел в определении 1 равен +∞ (или – ∞). В этом случае гово-
рят, что производная
)(
0
xf
′
=+∞ (или – ∞).
Определение 2. Если для любого достаточно малого Δx выполняется равенство
xxAxf
Δ
⋅
+
Δ
⋅
=
Δ
α
)(
0
,
где A
− постоянная, α − бесконечно малая функция при Δx→0, то функция f(x) называется
дифференцируемой в точке x
0
(см. рис. 1а). Величина A·Δx называется дифферециалом функ-
ции f(x) в точке x
0
и обозначается символом df(x
0
). Дифферециал функции y = f(x) в точке x
обозначается символом dy.
Теорема 1. Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в
том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство
dy = f ′ (x) dx. (1)
В силу этой теоремы выражения “функция дифференцируема” и “функция имеет про-
изводную” означают одно и то же.
2. Таблица производных некоторых функций.
Таблица
1.
0=
′
C
(
constC =
)
2. 1
=
′
x
3.
(
)
x
x
2
1
=
′
4.
)()(
1
Rnnxx
nn
∈=
′
−
5.
aaa
xx
ln)( =
′
6.
xx
ee =
′
)(
7.
x
e
x
a
a
log
)(log =
′
8.
x
x
1
)(ln =
′
9.
(
)
)ln1( xxx
xx
+=
′
10.
xx cos)(sin
=
′
11.
xx sin)(cos
=
′
12.
x
x
2
cos
1
)(tg
=
′
13.
x
x
2
sin
1
)(ctg −=
′
14.
2
1
1
)(arcsin
x
x
−
=
′
15.
2
1
1
)(arccos
x
x
−
−=
′
16.
2
1
1
)(arctg
x
x
+
=
′
17.
2
1
1
)(arcctgx
x
−=
′
18.
xx ch)(sh
′
19.
xx sh)(ch =
′
20.
x
x
2
ch
1
)(th =
′
21.
x
x
2
sh
1
)(cth −=
′
                                                     4


                          СПРАВОЧНЫЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
       1. Производная функции.
        Пусть функция y = f (x) определена в окрестности точки x0, Δx = x − x0 − приращение
аргумента x, Δf ( x0 ) = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) − приращение функции (рис 1а).
        Определение 1. Производной функции f (x) в точке x0 называется конечный предел
       Δf ( x0 )
 lim             , если он существует.
Δx → 0   Δx
                                                                             d f ( x0 )
          Производная функции f (x) в точке x0 обозначается f ′( x0 ) или               . Через y′ или
                                                                                dx
 dy
       обозначают производную функции y = f (x) в точке x.
 dx
          Замечание 1. Пусть предел в определении 1 равен +∞ (или – ∞). В этом случае гово-
рят, что производная f ′( x0 ) =+∞ (или – ∞).
          Определение 2. Если для любого достаточно малого Δx выполняется равенство
                                         Δf ( x0 ) = A ⋅ Δx + α ⋅ Δx ,
где A − постоянная, α − бесконечно малая функция при Δx→0, то функция f(x) называется
дифференцируемой в точке x0 (см. рис. 1а). Величина A·Δx называется дифферециалом функ-
ции f(x) в точке x0 и обозначается символом df(x0). Дифферециал функции y = f(x) в точке x
обозначается символом dy.
          Теорема 1. Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в
том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство
                                         dy = f ′ (x) dx.                                           (1)
          В силу этой теоремы выражения “функция дифференцируема” и “функция имеет про-
изводную” означают одно и то же.
         2. Таблица производных некоторых функций.

                                                                                                Таблица


1. C ′ = 0 ( C = const )        2. x ′ = 1                   3.   ( x )′ = 2 1 x
4. ( x n )′ = nx n −1 (n ∈ R)   5. (a x )′ = a x ln a        6. (e x )′ = e x
                                                                      ′
7. (log a x)′ =
                    log a e
                                8. (ln x)′ =
                                              1
                                                                  ( )
                                                             9. x x = x x (1 + ln x)
                       x                      x
10. (sin x)′ = cos x            11. (cos x)′ = − sin x                          1
                                                             12. (tg x)′ =
                                                                              cos 2 x
                       1                             1                                      1
13. (ctg x)′ = −                14. (arcsin x)′ =            15. (arccos x)′ = −
                    sin 2 x                       1− x   2
                                                                                        1− x2
                   1                                 1       18. (sh x)′ = ch x
16. (arctg x)′ =                17. (arcctgx)′ = −
                1+ x2                              1+ x2
19. (ch x)′ = sh x                             1                                     1
                                20. (th x)′ = 2              21. (cth x)′ = −
                                             ch x                                  sh 2 x

Страницы