ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
3. Действия над дифференцируемыми функциями. Пусть С – постоянная, )(xf и
)(xg - дифференцируемые функции. Тогда
(1)
(С f (x))′ = С f ′ (x),
(2)
)()())()(( xgxfxgxf
′
±
′
=
′
±
,
(3)
)()()()())()(( xgxfxgxfxgxf
′
⋅
+⋅
′
=
′
⋅ ,
(4)
)(
)()()()(
)(
)(
2
xg
xgxfxgxf
xg
xf
′
⋅−⋅
′
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
,
.0)(
≠
xg
Примеры.
1)
Найти производную функций: а) у=х
4
, б) у =
4
1
x
, в) у =
3
5
x
, г) у =
5sin
3
cos
+
x
.
Решение. а) По формуле 4 таблицы при n = 4 имеем у′ = (х
4
)′ = 4 х
3
.
б) у =
.
4
4
1
−
= x
x
По формуле 4 таблицы при n = – 4 имеем у′ =(х
–4
)′= – 4 х
–5
=
.
5
4
x
−
в) у =
3
5
3
5
xx =
. По формуле 4 таблицы при n =5/3 имеем у′=
.
3
5
3
5
3
2
3
2
xx =
г) у =
.5sincos
3
1
5sin
3
cos
+=+ x
x
Так как sin5 не зависит от x (т.е. sin5=const), то фор-
муле (1) таблицы (sin5)′=0. По свойству (1) имеем у′ =
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
xcos
3
1
=
.sin
3
1
x−
2)
Найти производную функций: а) y=e
x
+ x
2
sinx, б)
.
2
arccos
x
x
y =
Решение. а) По свойству (2) имеем у′=(e
x
)′ + (x
2
sinx)′. По формуле 6 таблицы и свойст-
ву (3) имеем у′=e
x
+ (x
2
)′sinx + x
2
(sinx)′ = e
x
+ 2x sinx + x
2
cosx.
б) По свойству (4) имеем
=
′
⋅−⋅
′
=
′
2
)2(
)2(arccos2)(arccos
x
xx
xx
y
.
12
arccos12ln1
1)2(
12ln2arccos2
)2(
2ln2arccos
1
2
2
2
22
2
2
2
x
xx
x
xx
x
x
xx
xx
x
x
x
−
−+
−=
−
−⋅−−
=
⋅−
−
−
=
4. Дифференцирование сложной функции. Пусть функция
)(ufy
=
имеет производ-
ную в точке u, а функция u = g(x) имеет производную в точке u = g(x). Тогда сложная функ-
ция ))(()( xgfxF = имеет производную в точке x, равную
)()()( xgufxF
′
⋅
′
=
′
. (2)
Примеры. 3) Найти производную функции y = ln (1 + x
2
).
Решение. Применим формулу (2), считая f (u) = ln u, u = g(x) = 1 + x
2
. По формуле 6
таблицы (ln u)′=1/ u. Следовательно, по формуле (2) y′ =
.
1
2
)1(
1
2
2
x
x
x
u +
=
′
+⋅
4) Найти dy, df (2), df (2) при dx=0.2, если y = ln (1 + x
2
).
5
3. Действия над дифференцируемыми функциями. Пусть С – постоянная, f (x) и
g (x) - дифференцируемые функции. Тогда
(1) (С f (x))′ = С f ′ (x),
(2) ( f ( x) ± g ( x))′ = f ′( x) ± g ′( x) ,
(3) ( f ( x) ⋅ g ( x))′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x) ,
′
⎛ f ( x) ⎞ f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
(4) ⎜⎜ ⎟⎟ = , g ( x) ≠ 0.
⎝ g ( x) ⎠ g 2 ( x)
Примеры.
1 cos x
1) Найти производную функций: а) у=х4, б) у = 4 , в) у =
3
x5 , г) у = + sin 5 .
x 3
Решение. а) По формуле 4 таблицы при n = 4 имеем у′ = (х4)′ = 4 х3.
1 −4 −4
б) у = 4 = x . По формуле 4 таблицы при n = – 4 имеем у′ =(х–4)′= – 4 х–5= 5 .
x x
5 2
5 53 2
в) у =
3
x5 = x . По формуле 4 таблицы при n =5/3 имеем у′= x =
3 3
x .
3 3
cos x 1
г) у = + sin 5 = cos x + sin 5. Так как sin5 не зависит от x (т.е. sin5=const), то фор-
3 3
′
⎛1 ⎞ 1
муле (1) таблицы (sin5)′=0. По свойству (1) имеем у′ = ⎜ cos x ⎟ = − sin x.
⎝ 3 ⎠ 3
arccos x
2) Найти производную функций: а) y=ex + x2 sinx, б) y = .
2x
Решение. а) По свойству (2) имеем у′=(ex)′ + (x2 sinx)′. По формуле 6 таблицы и свойст-
ву (3) имеем у′=ex + (x2)′sinx + x2 (sinx)′ = ex + 2x sinx + x2 cosx.
(arccos x)′ ⋅ 2x − arccos x ⋅ (2 x )′
б) По свойству (4) имеем y′ = =
(2 x ) 2
2x
− − arccos x ⋅ 2 x ln 2
1− x 2 − 2 x − arccos x ⋅ 2 x ln 2 1 − x2 1 + ln 2 1 − x 2 arccosx
= = =− .
(2 x ) 2 (2 x ) 2 1 − x 2 2x 1 − x2
4. Дифференцирование сложной функции. Пусть функция y = f (u ) имеет производ-
ную в точке u, а функция u = g(x) имеет производную в точке u = g(x). Тогда сложная функ-
ция F ( x) = f ( g ( x)) имеет производную в точке x, равную
F ′( x) = f ′(u ) ⋅ g ′( x) . (2)
Примеры. 3) Найти производную функции y = ln (1 + x2).
Решение. Применим формулу (2), считая f (u) = ln u, u = g(x) = 1 + x2. По формуле 6
1 2x
таблицы (ln u)′=1/ u. Следовательно, по формуле (2) y′ = ⋅ (1 + x2 )′ = .
u 1 + x2
4) Найти dy, df (2), df (2) при dx=0.2, если y = ln (1 + x2).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
