Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

9
Вновь имеет место неопределенность вида
0
0
.
Следуя замечанию 7, применим правило
Лопиталя повторно. При этом замечаем, что
105cos10lim
0
=
→
x
x
, поэтому правило применяем
только к функции
x
x
5sin
3e3
3
−
:
=
⋅
−
→
x
x
x
x
5cos5sin10
3e3
lim
3
0
.
50
9
5cos5
e9
10
1
5cos5
e9
lim
10
1
)5(sin
)3e3(
lim
10
1
0
333
00
=⋅==
′
′
−
=
→→
x
xxx
xxx
xx
11) Найти предел
.
e
lim
2
5
x
x
x +∞→
Решение. Имеет место неопределенность вида
∞
∞
. Применим правило Лопиталя.
.
2
e25
lim
)2(
)e5(
lim
2
e5
lim
)(
)(e
lim
e
lim
555
2
5
2
5
+∞==
′
′
==
′
′
=
+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→
xxxxx
xxxxx
xxxx
Здесь правило Лопиталя применено два раза.
Замечание 8. Результат будет таким же и при любом положительном коэффициенте у
показателя экспоненты и любом положительном показателе степени
х. Этот факт нефор-
мально означает, что “экспоненциальная функция растет быстрее, чем степенная при
х → + ∞”.
12)
Найти предел
.
ln
lim
2
4
x
x
x +∞→
Решение. Имеет место неопределенность вида
∞
∞
. Применим правило Лопиталя.
.lim8
4
lim2
)(ln
)(
lim2
2
4
lim
)(ln
)(
lim
ln
lim
4
34344
1
ln
22
+∞===
′
′
==
′
′
=
+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→
x
x
x
xx
x
x
x
x
xxxxxx
x
x
x
Здесь правило Лопиталя применено два раза.
Замечание 9. Результат будет таким же и при любых положительных показателях сте-
пеней х и lnx. Этот факт неформально означает, что “степенная функция растет быстрее, чем
логарифмическая при х →+∞”.
10. Промежутки монотонности функции.
Определение 3.
Функция
)(xf
называется возрастающей (убывающей) в промежутке
X
из области определения, если для любых
Xxx
∈
21
,
из условия
21
xx
<
следует неравенст-
во )()(
21
xfxf < (соответственно )()(
21
xfxf > ).
На рисунке 2
а функция возрастает в интервалах (a, b), (c, d), убывает в (b, c ).
Под
монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.
Теорема 3 (достаточное условие монотонности). Если функция f(x) дифференцируема в
промежутке
X и f ′(x)>0 ( f ′(x)<0 ) для всех
Xx
∈
, то f(x) возрастает (соответственно
убывает) в промежутке
X.
11. Экстремумы функции.
Определение 4.
Точка x
0
называется точкой минимума (максимума) функции y=f(x),
если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки
x
≠x
0
этой окре-
                                                           9


    Вновь имеет место неопределенность вида 00 . Следуя замечанию 7, применим правило
Лопиталя повторно. При этом замечаем, что lim10 cos 5 x = 10 , поэтому правило применяем
                                                            x →0
                           3x
                           3e − 3
только к функции                      :
                            sin 5 x
                3 e3 x − 3           1        (3 e3 x − 3)′ 1         9 e3 x   1 9 e3 x          9
     lim                        =       lim                = lim             = ⋅                = .
     x → 0 10 sin 5 x ⋅ cos 5 x     10  x → 0  (sin 5 x)′ 10  x → 0 5 cos 5 x 10 5 cos 5 x x = 0 50

                                   e5 x
     11) Найти предел lim               .
                             x → +∞ x 2


     Решение. Имеет место неопределенность вида ∞
                                                ∞ . Применим правило Лопиталя.

                    e5 x          (e5 x )′         5 e5 x         (5 e5 x )′          25 e5 x
             lim         =  lim            =  lim         =  lim             =  lim           = +∞.
             x → +∞ x 2    x → +∞ ( x 2 )′   x → +∞ 2 x     x → +∞ ( 2 x )′    x → +∞   2
     Здесь правило Лопиталя применено два раза.
     Замечание 8. Результат будет таким же и при любом положительном коэффициенте у
показателя экспоненты и любом положительном показателе степени х. Этот факт нефор-
мально означает, что “экспоненциальная функция растет быстрее, чем степенная при
х → + ∞”.
                              x4
     12) Найти предел lim 2 .
                      x → +∞ ln x

     Решение. Имеет место неопределенность вида ∞
                                                ∞ . Применим правило Лопиталя.

             x4              ( x 4 )′            4 x3              ( x 4 )′           4 x3
      lim          =  lim              =  lim          = 2  lim             = 2  lim       = 8 lim x 4 = +∞.
     x → +∞ ln 2 x   x → +∞ (ln 2 x )′   x → +∞ 2 ln x     x → +∞ (ln x )′      x → +∞ 1      x → +∞
                                                    x                                   x

     Здесь правило Лопиталя применено два раза.
     Замечание 9. Результат будет таким же и при любых положительных показателях сте-
пеней х и lnx. Этот факт неформально означает, что “степенная функция растет быстрее, чем
логарифмическая при х →+∞”.

     10. Промежутки монотонности функции.
      Определение 3. Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) в промежутке
X из области определения, если для любых x1 , x 2 ∈ X из условия x1 < x 2 следует неравенст-
во f ( x1 ) < f ( x 2 ) (соответственно f ( x1 ) > f ( x 2 ) ).
      На рисунке 2а функция возрастает в интервалах (a, b), (c, d), убывает в (b, c ).
      Под монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.
      Теорема 3 (достаточное условие монотонности). Если функция f(x) дифференцируема в
промежутке X и f ′(x)>0 ( f ′(x)<0 ) для всех x ∈ X , то f(x) возрастает (соответственно
убывает) в промежутке X.

     11. Экстремумы функции.
     Определение 4. Точка x0 называется точкой минимума (максимума) функции y=f(x),
если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки x ≠x0 этой окре-

Страницы