Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 12 стр.

                                              12


     Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, на-
зывается точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг
графика с разными направлениями выпуклости (рис. 4б,4в).




                                       Рисунок 4

       Заметим, что в точке перегиба требуется существование касательной к графику.
       В некоторых учебных пособиях выпуклую вверх функцию называют выпуклой, а вы-
пуклую вниз функцию − вогнутой. Мы будем также пользоваться этими терминами, когда
это удобно.
       Теорема 4 (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Если функция f(x) диффе-
ренцируема дважды в интервале X и в ней f ″ (x) > 0 (f ″(x) < 0), то f(x) является выпуклой
вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале X.
       Необходимое условие точки перегиба. Если M0 (x0, f(x0)) − точка перегиба функции
f(x), то либо и f ″(x0) = 0, либо f ″(x0) не существует (рис. 4б, 4в). Следовательно, абсциссы
точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна
нулю, либо не существует.
       Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x) имеет производную (может
быть бесконечную) в точке x0, существует вторая производная в проколотой окрестности
точки x0 и либо f ″(x0) = 0, либо f ″(x0) не существует. Тогда если при переходе через x0 f ″(x)
меняет знак, то (x0, f(x0)) является точкой перегиба.
       Правило нахождения точек перегиба и промежутков выпуклости вверх и вниз.
       1) Найти область определения функции f(x).
       2) Найти f ″(x) и решить уравнение f ″(x) = 0 и найти точки x из области определения, в
которых f ″(x) не существует.
       3) Разбить область определения найденными в предыдущем пункте точками на проме-
жутки и в них найти знаки второй производной.
       4) Согласно теореме 4 в промежутках, где вторая производная положительна, функция
выпукла вниз, а в промежутках, где вторая производная отрицательна, функция выпукла
вверх.
       5) В соответствии с необходимым условием абсциссы точек перегиба нужно искать
среди значений, найденных в пункте 2. Пусть x0 − такое значение. Если производная в точке
x0 (конечная или бесконечная) существует и в интервалах непосредственно слева и справа от
x0 вторая производная имеет разные знаки, то x0 − абсцисса точки перегиба.
                                                   x
       Пример. 14) Исследовать функцию y = 2           на выпуклость, вогнутость, найти точки
                                                 x −4
перегиба.
       Решение. 1) Функция определена при всех действительных значениях x, таких, что
  2
x -4 ≠ 0, т.е. x ≠ ±2.
       2) Найдем вторую производную.