Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 14 стр.

                                                      14


     Вертикальная асимптота может быть в точке, являющейся границей области определе-
ния функции, если односторонний предел в этой точке равен +∞ или −∞ (рис. 6в).




                                            Рисунок 6

     Нахождение горизонтальных асимптот. Если
                             lim f (x) = y0 при x →+ ∞ (или −∞),
то прямая y = y0 является горизонтальной асимптотой при x →+ ∞ (или −∞).
     Нахождение наклонных асимптот. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
y= kx+b , где угловой коэффициент k ≠ 0. Коэффициенты k и b при x →+∞ (−∞) находят по
формулам:
                                         f ( x)
                           k = lim              ,      b = lim ( f (x) − kx) .                            (7)
                                x→ ± ∞     x               x→± ∞
     Замечание 11. В формулах (7) подразумевается, что оба предела существуют и конеч-
ны. Если хотя бы один из них не существует, то наклонной асимптоты нет.
     Замечание 12. Если пределы (7) конечны и k = 0, то график имеет горизонтальную
асимптоту y= b при x →+ ∞ (или −∞). Поэтому если существует горизонтальная асимптота
при x →+ ∞ (или −∞), то нет наклонной асимптоты при x →+ ∞ (или −∞).
                                                                 x2 + 1
     Примеры. 15) Найти асимптоты графика функции y =                   .
                                                                 x−2
     Решение. Точка x = 2 является точкой разрыва функции. Найдем односторонние преде-
лы функции в этой точке
                                x2 + 1              x2 + 1
                           lim         = −∞, lim           = +∞.
                          x→2−0 x − 2         x→2+0 x − 2

Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой при у→ + ∞ и у→ −∞.
                    x2 + 1
     Так как lim            = ±∞ , то горизонтальных асимптот нет.
             x → ±∞ x − 2

     Найдем наклонные асимптота по формулам (7).
               x2 + 1                   ⎛ x2 + 1      ⎞          2x + 1
k = lim                 = 1, b = lim ⎜⎜          − x ⎟⎟ = lim           = 2 , следовательно, прямая у = х+2
    x → ±∞   x ( x − 2)          x → ±∞
                                        ⎝ x−2         ⎠   x → ±∞ x−2

является наклонной асимптотой при x → ± ∞ (рис. 6б).
     16) Найти асимптоты графика функции y = ln 1 + 1x + 1.    (      )