ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16
Схема построения графика функции. График можно строить в следующей последо-
вательности.
1) На оси
Ох выделить область определения функции.
2) Начертить все асимптоты, если они есть.
3) Нанести точки графика, где достигаются экстремумы, если они есть.
4) Нанести точки перегиба, если они есть.
5) Нанести точки пересечения графика с осями системы координат, если они есть.
6) При необходимости исследовать поведение функции при
x →+ ∞ и −∞.
7) Начертить схематично кривую через нанесенные выше точки, учитывая поведение
графика вблизи асимптот и при
x →+ ∞ и −∞.
8) Сравнить полученный эскиз с результатами исследования: проверить промежутки
монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости и т. д.
9) Уточнить эскиз графика. При необходимости найти дополнительные точки графика
и начертить график так, чтобы она проходила через эти точки. Если функция четная (нечет-
ная), то график начертить симметрично относительно оси
Оу (соответственно начала коор-
динат). Если функция периодическая с наименьшим периодом
T > 0, то построить часть гра-
фика на одном интервале длины
T и повторить ее через период.
Пример. 17) Провести полное исследование функции
x
1
e)2(
−
−= xy
и построить ее
график.
Решение. Функцию исследуем согласно схеме.
1) Область определения – множество всех действительных чисел, таких, что x ≠ 0. Точ-
ка x = 0 является точкой разрыва функции.
2) Функция не является четной, нечетной, периодической.
3) Найдем первую производную:
(
)
.e
2
1
e)2(e)e()2(e)2(
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
2
2
−−−−−
−+
=
′
−−+=
′
−+
′
−=
′
x
xx
x
xxxy
Решим уравнение y′ = 0:
.1 или2020e
2
2
x
1
2
2
=−=⇔=−+⇔=
−+
−
xxxx
x
xx
Производная
не существует в точке x = 0, но в ней функция не определена, поэтому она не является кри-
тической. Таким образом, критическими являются точки x =
-2 и x = 1. Разобьем им область
определения на интервалы и нейдем в них знаки производной (рис. 8а). Так как
0e
x
1
>
−
и
0
2
≥x
, то знак производной совпадает со знаком квадратного трехчлена
2
2
−+ xx
. Его зна-
чение в интервалах (
-∞, -2) и (1, +∞) положительно, а в интервалах (-2, 0) и (0, 1) от-
рицательно. Таким образом, функция возрастает в интервалах (
-∞, -2) и (1, +∞), убывает
в интервалах (
-2, 0) и (0, 1), x = -2 – точка максимума, максимальное значение равно
,60,6e4)2( −≈−=−y x = 1 – точка минимума, минимальное значение равно =)1(y ≈− e/1
.37,0−
4) Найдем вторую производную:
=
′
−+
+
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
=
′′
−−
)e(
2
e
2
x
1
2
2
x
1
2
2
x
xx
x
xx
y
.e
25
e
12
e
2)2()12(
x
1
4
x
1
22
2
x
1
4
22
−−−
⋅
−
=⋅
−+
+
⋅−+−+
=
x
x
x
x
xx
x
xxxxx
Вторая производная существует во всех точках области определения функции, значит, точка
перегиба может быть только при таких значениях х, что у′′ = 0. Решив уравнение
16
Схема построения графика функции. График можно строить в следующей последо-
вательности.
1) На оси Ох выделить область определения функции.
2) Начертить все асимптоты, если они есть.
3) Нанести точки графика, где достигаются экстремумы, если они есть.
4) Нанести точки перегиба, если они есть.
5) Нанести точки пересечения графика с осями системы координат, если они есть.
6) При необходимости исследовать поведение функции при x →+ ∞ и −∞.
7) Начертить схематично кривую через нанесенные выше точки, учитывая поведение
графика вблизи асимптот и при x →+ ∞ и −∞.
8) Сравнить полученный эскиз с результатами исследования: проверить промежутки
монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости и т. д.
9) Уточнить эскиз графика. При необходимости найти дополнительные точки графика
и начертить график так, чтобы она проходила через эти точки. Если функция четная (нечет-
ная), то график начертить симметрично относительно оси Оу (соответственно начала коор-
динат). Если функция периодическая с наименьшим периодом T > 0, то построить часть гра-
фика на одном интервале длины T и повторить ее через период.
1
−
Пример. 17) Провести полное исследование функции y = ( x − 2) e x
и построить ее
график.
Решение. Функцию исследуем согласно схеме.
1) Область определения – множество всех действительных чисел, таких, что x ≠ 0. Точ-
ка x = 0 является точкой разрыва функции.
2) Функция не является четной, нечетной, периодической.
3) Найдем первую производную:
( ) ′
1 1 1 1 1
y′ = ( x − 2)′ e x + ( x − 2) (e x )′ = e x + ( x − 2)e x − 1x = x + x2 − 2 e x .
− − − − 2 −
x
1
Решим уравнение y′ = 0: x + x2 − 2 e x = 0 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = −2 или x = 1. Производная
2 −
x
не существует в точке x = 0, но в ней функция не определена, поэтому она не является кри-
тической. Таким образом, критическими являются точки x = -2 и x = 1. Разобьем им область
1
−
определения на интервалы и нейдем в них знаки производной (рис. 8а). Так как e x > 0 и
x 2 ≥ 0 , то знак производной совпадает со знаком квадратного трехчлена x 2 + x − 2 . Его зна-
чение в интервалах (-∞, -2) и (1, +∞) положительно, а в интервалах (-2, 0) и (0, 1) от-
рицательно. Таким образом, функция возрастает в интервалах (-∞, -2) и (1, +∞), убывает
в интервалах (-2, 0) и (0, 1), x = -2 – точка максимума, максимальное значение равно
y ( −2) = −4 e ≈ −6,60, x = 1 – точка минимума, минимальное значение равно y (1) = − 1 / e ≈
− 0,37.
4) Найдем вторую производную:
′
⎛ x 2 + x − 2 ⎞ − 1x x 2 + x − 2 − 1x
y′′ = ⎜⎜ ⎟⎟ e + (e )′ =
⎝ x2 ⎠ x2
1 1 1
( 2 x + 1) x 2 − ( x 2 + x − 2) ⋅ 2 x − x x 2 + x − 2 1 − x 5 x − 2 − x
= e + ⋅ e = ⋅ e .
x4 x2 x2 x4
Вторая производная существует во всех точках области определения функции, значит, точка
перегиба может быть только при таких значениях х, что у′′ = 0. Решив уравнение
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
