Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. Син Л.И - 20 стр.

                                                       20


                       1
                    1 −2    ⎛ 1 −4 ⎞                1              1     5     2  1
             y′ =     x + 5⎜⎜ − x 3 ⎟⎟ − (−2) x −3 + (−3) x − 4 =    −       + 3− 4.
                    2       ⎝  3     ⎠              3             2 x 3 x
                                                                       3   4  x  x

     3) Сначала раскроем скобки, затем продифференцируем:
                                                  ′
                              ′  ⎛ 5 1 6       7⎞
                             y = ⎜ 2 x − x + 3x ⎟ = 10 x 4 − 2 x 5 + 21x 6 .
                                 ⎝      3       ⎠
     4) Пользуясь правилом (4) дифференцирования дроби, получим
                       ′
              ⎛ x2 ⎞       ( x 2 )′( x 2 + 1) − ( x 2 + 1)′ x 2 2 x( x 2 + 1) − 2 x ⋅ x 2      2x
            ′ ⎜
           y =⎜ 2    ⎟
                     ⎟   =                                     =                          = 2         .
              ⎝ x + 1⎠                  ( x + 1)                       ( x + 1)            ( x + 1) 2
                                           2      2                       2     2




     5) Вначале раскроем скобки и произведем деление числителя на знаменатель почленно,
далее продифференцируем:
                                                1                               3
          1− 2 x + x 1     2                  −                         ⎛ 1⎞ −        1   1
       y=            = −      + 1 = x −1 − 2 x 2 + 1 ; y ′ = − x − 2 − 2⎜ − ⎟ x 2 = − 2 +    .
              x        x    x                                           ⎝ 2⎠         x    x3
      6) Полагая y = u 3 , где u = 1 + 5 x , и применяя формулу (2) для дифференцирования
сложной функции, имеем:
                   dy           du           dy dy du
                                                        = 3u 2 ⋅ 5 = 15(1 + 5 x ) .
                                                                                 2
                       = 3u 2 ;     = 5;        =   ⋅
                   du           dx           dx du dx
     Легко проверить правильность этого результата: возведя в куб и дифференцируя полу-
ченный многочлен, приходим к тому же ответу.
    7) Полагая 5 x = u и пользуясь формулой 10 таблицы и правилом дифференцирования
сложной функции (2), найдем
                                         ′          ′
                         y ′ = (sin 5 x ) = (sin u ) = cos u ⋅ u ′ = 5 cos 5 x .
       8) Полагая cos x = u и применяя формулу (2) и формулы 4 и 11 таблицы, получим
                                   ′        ′
                    y′ = (cos 2 x ) = (u 2 ) = 2u ⋅ u′ = 2 cos x (− sin x) = − sin 2 x .

       9) При x 2 = u по формуле (2) и формулам 10 и 4 таблицы найдем
                           (sin x 2 )′ = (sin u )′ = cos u ⋅ u ′ = 2 x ⋅ cos x 2 .
      10) Полагаем 2 + x 4 = u . Пользуясь формулой 4 таблицы, имеем
                                           ′
             3
               (         ) ( )
                       ′ 3 ′ ⎛ 1 ⎞ 1 −2
                                    ⎜  3 ⎟
                                                         1
               2 + x = u = ⎜ u ⎟ = u 3 u′ = 2 + x 4 3 4x3 =
                     4
                                                               (     −
                                                                       2
                                                                        )          4x3
                                                                                              .
                                    ⎝ ⎠ 3                3                            (
                                                                               33 2 + x 4
                                                                                            2
                                                                                               )
      Дифференцирование этой сложной функции можно записать иначе:
                                          1 ′
                 3
                    (     ′ ⎛
                             )               ⎞ 1                        ′
                   2 + x 4 = ⎜⎜ (2 + x 4 )3 ⎟⎟ = (2 + x 4 ) 3 (2 + x 4 ) =
                                                           −
                                                             2
                                                                               4x3
                                                                                          .
                              ⎝              ⎠  3                          33 (2 + x 4 )
                                                                                        2


     Второй способ записи без особого обозначения промежуточного аргумента значитель-
но проще. Этому способу записи и следует научиться при дифференцировании сложных
функций.

     11) Согласно формулам 8, 11 таблицы и формуле (2) имеем