Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 4 стр.

                                                 4

                            ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

      Некоторые соглашения. В этой методической разработке будем считать все рас-
сматриваемые кривые кусочно-гладкими, ограниченные области в R2 − квадрируемыми, ог-
раниченные области в R3 − кубируемыми. Квадрируемыми (кубируемыми) множествами на-
зываются множества, имеющие площади (соответственно объемы).

       1. Двойной интеграл. Пусть функция z = f(x,y) определена в ограниченной замкнутой
области D плоскости R2. Разобьём область D произвольным образом на n элементарных
замкнутых областей σ1, … ,σn, имеющих площади Δσ1, …, Δσn и диаметры d1 , …, dn соот-
ветственно. Обозначим d наибольший из диаметров областей σ1, … ,σn . Диаметром замкну-
той ограниченной области называется наибольшее из расстояний между двумя точками гра-
ницы этой области. В каждой области σk выберем произвольную точку Pk (xk ,yk) и составим
                                           n

интегральную сумму функции f(x,y) S =     ∑ f (x
                                          k =1
                                                     k   , y k ) Δσ k (рис. 1).
                                                           Определение. Двойным интегралом
                                                     функции f(x,y) по области D называется
                                                     предел интегральной суммы
                                                                         lim S ,
                                                                         d →0
                                                     если он существует.
                                                            Двойной интеграл обозначается

                                                                       ∫∫ f ( x, y) dxdy.          (1)
                                                                       D
                                                      Замечание. Интегральная сумма S зависит
                                                     от способа разбиения области D и выбора
                                                     точек Pk (k=1, …, n). Однако, предел lim S ,
                                                                                            d →0
                                                     если он существует, не зависит от способа
                                                     разбиения области D и выбора точек Pk .
               Рисунок 1                              2. Достаточное условие существо-
                                               вания двойного интеграла. Двойной инте-
грал (1) существует, если функция f(x,y) непрерывна в D за исключением конечного числа
кусочно-гладких кривых и ограничена в D.
       В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы сущест-
вуют.

      3. Геометрический смысл двойного интеграла. Если f(x,y) ≥0 в области D, то двой-
ной интеграл (1) равен объему “цилиндрического” тела, изображенного на рис.1:

                                 V=   ∫∫ f ( x, y) dxdy.                                           (2)
                                      D
      Пояснение. Цилиндрическое тело ограничено снизу областью D, сверху − частью по-
верхности z=f(x,y), с боков − вертикальными отрезками прямых, соединяющих границы этой
поверхности и области D.