Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

6
Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутрен-
ний интеграл
∫
)(
)(
2
1
),(
x
x
dyyxf
ϕ
ϕ
по переменной y, при этом x считается постоянной. В результате получится функция от пе-
ременной x, а затем вычисляется “внешний” интеграл от этой функции по переменной x.
Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (5) часто называ-
ют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов
интегрирования нужно
помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не
должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть констан-
тами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внеш-
него интеграла.
Пусть теперь область D имеет вид (рис. 2б)
D = { (x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ
1
(y) ≤ x ≤ ψ
2
(y) } . (6)
Тогда
∫∫∫ ∫
=
)(
)(
2
1
),(),(
y
yD
d
c
dxyxfdydydxyxf
ψ
ψ
. (7)
Предположим, что область D можно представить в виде (4) и (6) одновременно. Тогда
имеет место равенство
∫∫∫∫
=
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
.),(),(
y
y
d
c
x
x
b
a
dxyxfdydyyxfdx
ψ
ψ
ϕ
ϕ
(8)
Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (8) называется изменением
порядка интегрирования в двойном интеграле.
Примеры.
1) Изменить порядок интегрирования в интеграле
.),(),(
2
2
1
0
∫∫∫ ∫
=
xD
dyyxfdxdydxyxf
Решение. По виду повторного интеграла находим область
D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y≤ 2} .
Изобразим область D (рис. 3). По рисунку видим, что эта область
расположена в горизонтальной полосе между прямыми y=0, y=2
и между линиями x = 0, x = y / 2. Это значит, что
D = {(
x, y): 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x≤ y/2} .
Тогда по формуле (8) получаем
Рисунок 5 
                                                         6

Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутрен-
ний интеграл
                                          ϕ2 ( x)

                                             ∫ f ( x, y) dy
                                          ϕ1 ( x )

по переменной y, при этом x считается постоянной. В результате получится функция от пе-
ременной x, а затем вычисляется “внешний” интеграл от этой функции по переменной x.

       Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (5) часто называ-
ют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов
интегрирования нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не
должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть констан-
тами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внеш-
него интеграла.

        Пусть теперь область D имеет вид (рис. 2б)
                          D = { (x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) } .                        (6)

Тогда
                                                         d       ψ 2 ( y)

                          ∫∫ f ( x, y) dx dy = ∫ dy ∫ f ( x, y) dx .                             (7)
                          D                              c       ψ1 ( y )

      Предположим, что область D можно представить в виде (4) и (6) одновременно. Тогда
имеет место равенство

                           b    ϕ2 ( x)                      d       ψ 2 ( y)

                           ∫ dx      ∫   f ( x, y ) dy = ∫ dy           ∫ f ( x, y) dx.          (8)
                           a      ϕ1 ( x )                   c       ψ1 ( y )

Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (8) называется изменением
порядка интегрирования в двойном интеграле.

                                         Примеры.
                                         1) Изменить порядок интегрирования в интеграле
                                                                                 1        2

                                                     ∫∫ f ( x, y) dx dy = ∫ dx ∫ f ( x, y) dy.
                                                     D                           0        2x
                                 Решение. По виду повторного интеграла находим область
                                              D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y≤ 2} .
                            Изобразим область D (рис. 3). По рисунку видим, что эта область
                           расположена в горизонтальной полосе между прямыми y=0, y=2
                           и между линиями x = 0, x = y / 2. Это значит, что

                                               D = {(x, y): 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x≤ y/2} .
  Рисунок 5
                           Тогда по формуле (8) получаем

Страницы