Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 8 стр.

                                                              8


                                                              x                             y
                   r=    x 2 + y 2 , cos ϕ =                               , sin ϕ =                .   (10)
                                                          2            2                2       2
                                                         x + y                         x + y

      Пусть область D в декартовых координатах преобразуется в область Dr в полярных
координатах согласно формулам (10). Тогда интеграл (1) преобразуется в двойной интеграл в
полярных координатах по формуле

                                 ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ) rdrdϕ .                 (11)
                                  D                           Dr

        Двойной интеграл (11) вычисляется переходом к повторному интегралу в полярных
координатах. Пусть область Dr имеет вид (рис. 4б)
                   Dr = { (r, φ ) : α ≤ φ ≤ β, r1(φ) ≤ r≤ r2 (φ)},
где лучи φ = α и φ = β ограничивают сектор, в котором находится фигура Dr , кривые
r = r1(φ), r = r2 (φ) ограничивают ее в этом секторе. Тогда

                                                 β r2 (ϕ )
            ∫∫ f (x cosϕ, y sinϕ) rdrdϕ = ∫ϕ ∫ f (r cosϕ, r sinϕ ) rdr.                                 (12)
            Dr                                   α r1 (ϕ )

       Замечание. При расстановке пределов интегрирования в повторном интеграле нужно
учесть, что изменение полярного угла определяется поворотом луча, исходящего из начала O
вокруг него против хода часовой стрелки, а изменение полярного радиуса определяется дви-
жением точки вдоль луча в сторону его возрастания.
                                         Примеры. 3). Расставить пределы интегрирования
                                  в повторном интеграле в полярных координатах
                                                          ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ) rdrdϕ ,
                                              Dr
                                   где Dr − полукруг из рисунка 5.
                                            Решение. Все точки этого полукруга будут охва-
                                   чены, если луч Оl будет поворачиваться от ϕ = − π до
                                                                                           2
                                                                                       π
                                   φ = 0 против хода часовой стрелки. Значит, − ≤ ϕ ≤ 0 .
             Рисунок 5                                                                 2
                                   Пусть теперь луч Оl имеет полярный угол − ≤ ϕ ≤ 0 .π
                                                                                       2
Тогда при движении точки полукруга по лучу Оl (рис. 5) от точки О до точки M полярный
радиус r изменяется от 0 до координаты r=2cosφ точки M. Значит,
0 ≤ r ≤ 2cos φ. Таким образом, Dr = {(r, φ): − π ≤ ϕ ≤ 0 , 0 ≤ r ≤ 2 cos φ} . Следовательно,
                                               2
                                                 0            2 cos ϕ
           ∫∫   f (r cos ϕ , r sin ϕ ) rdrdϕ =   ∫       dϕ        ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr.
          Dr                                         π             0
                                                 −
                                                     2


      4) Вычислить      ∫∫   x 2 + y 2 dxdy, где D = {(x, y): x2 + y2−2x ≤ 0, y≤ 0} .
                        D
      Решение. Подставим в уравнение окружности x2 +y2−2x = 0 полярные координаты (9)
и преобразуем: r2−2 rcosφ = 0 ⇒ r =2cosφ. Мы получили уравнение полуокружности в по-