Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 10 стр.

                                                           10



                                                            2π     2            2π 4 2
                                                                                    r               2π
        V = ∫∫ (r cos ϕ + r sin ϕ ) rdrdϕ = ∫ dϕ ∫ r dr =
                      2   2     2        2                               3
                                                                                ∫4          dϕ = 4ϕ 0 = 8π .
                                                             0     0            0       0
             Dr




                                                     Рисунок 7


      9. Тройной интеграл. Пусть функция u = f(x,y,z) определена в ограниченной замкну-
той области Ω пространства R3. Разобьём область Ω произвольным образом на n элемен-
тарных замкнутых областей ω1, … , ωn, имеющих объемы Δω1, …, Δωn соответственно. Обо-
значим d – наибольший из диаметров областей ω1, … , ωn. В каждой области ωk выберем
произвольную точку Pk (xk , yk , zk) и составим интегральную сумму функции f(x, y, z)
                                     n

                              S =   ∑ f (x
                                    k =1
                                                k   , y k , z k ) Δω k
      Определение. Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области Ω называется
предел интегральной суммы lim S , если он существует.
                                    d →0
      Тройной интеграл обозначается
                                             ∫∫∫
                                              Ω
                                                 f ( x, y, z ) dxdydz.                                         (13)

      Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области Ω и выбора
точек Pk (k=1, …, n). Однако, если существует предел lim S , то он не зависит от способа
                                                                             d →0
разбиения области Ω и выбора точек Pk . Если сравнить определения двойного и тройного
интегралов, то легко увидеть в них полную аналогию.
       Достаточное условие существования тройного интеграла. Тройной интеграл (13)
существует, если функция f(x, y, z) ограничена в Ω и непрерывна в Ω, за исключением конеч-
ного числа кусочно-гладких поверхностей, расположенных в Ω .
       В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые тройные интегралы сущест-
вуют.

      10 Некоторые свойства тройного интеграла.
      1) Линейность. Если С – числовая константа, то
              ∫∫∫Сf ( x, y, z) dx dydz = C ∫∫∫ f ( x, y, z) dx dydz ;
                  Ω                                  Ω