Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

12
,),,(),,(
),(
),(
2
1
∫∫∫ ∫∫ ∫
Ω
=
D
zy
zy
dxzyxfdydzdxdydzzyxf
ϕ
ϕ
.),,(),,(
),(
),(
2
1
∫∫∫ ∫∫ ∫
Ω
=
D
zx
zx
dyzyxfdxdzdxdydzzyxf
ϕ
ϕ
В первой формуле
D − проекция тела Ω на координатную плоскость yOz, а во второй − на
плоскость
xOz
Примеры. 7) Вычислить объем тела Ω, ограниченного поверхностями
z = 0, x
2
+ y
2
= 4, z = x
2
+ y
2
.
Решение. Объем этого тела вычислен в примере 6 при помощи двойного интеграла.
Здесь его вычислим при помощи тройного интеграла по формуле (14).
∫∫∫
Ω
=Ω .)( dxdydzV
Перейдем к повторному интегралу по формуле (15). Пусть
D − круг x
2
+ y
2
≤ 4, φ
1
(x, y) = 0,
φ
2
(x, y)= x
2
+ y
2
. Тогда по формуле (15) получим
∫∫∫∫∫
+==Ω
+
D
yx
D
dxdyyxdzdxdyV .)()(
22
0
22
Этот интеграл вычислили в примере 6 и получили
V(Ω) = 8π.
8) Тело
Ω ограничено поверхностями z=y, z= –y, x=0 , x=2, y=1. Вычислить
∫∫∫
Ω
+ .)(
2
dxdydzzyx
Решение. Тело
Ω изображено на рис. 9. Плоскости z = y, z = –y ограничивают тело
соответственно снизу и сверху, плоскости
x=0 , x=2 ограничивают тело соответственно сза-
ди и спереди, а плоскость
y=1 ограничивает справа. Ω – z-цилиндрическое тело, его проек-
цией
D на плоскость хОу является прямоугольник ОАВС. Положим φ
1
(x, y) = –y, φ
2
(x, y)= y и
применим формулу (15):
∫∫∫
Ω
=+ dxdydzzyx )(
2
∫∫ ∫
−
=+
D
y
y
dzzyxdxdy )(
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
−
∫∫
y
y
D
z
yzxdxdy
2
2
2
∫∫ ∫ ∫
==
D
dyyxdxdxdyyx
2
0
1
0
2222
22
.
9
16
33
2
3
2
3
2
2
0
3
2
0
2
2
0
1
0
3
2
=⋅===
∫∫
x
dxxdx
y
x
12. Переход к цилиндрическим координатам в тройном интеграле.
Пусть в координатной плоскости
xOy введена полярная система координат так, что
луч
Оr совпадает с полуосью Оx. Цилиндрическими координатами точки М называются три
числа
r, φ, z, где r, φ – полярные координаты проекции М
z
точки М на плоскость xOy, z –
аппликата точки
М (рис. 10). Для точек оси Оz координата φ не определена. Декартовы коор-
динаты
x, y, z выражаются через цилиндрические координаты по формулам
zzryrx
=
=
= ,sin,cos
ϕ
ϕ
. 
                                                               12

                                                                           ϕ2 ( y,z)

             ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫ dydz ϕ ∫ f ( x, y, z )dx,
              Ω                                        D                       1 ( y,z)



                                                                           ϕ2 ( x,z )

             ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫ dxdz ϕ ∫ f ( x, y, z )dy .
              Ω                                        D                       1 ( x, z )



В первой формуле D − проекция тела Ω на координатную плоскость yOz, а во второй − на
плоскость xOz
       Примеры. 7) Вычислить объем тела Ω, ограниченного поверхностями
                          z = 0, x2 + y2 = 4, z = x2 + y2 .
       Решение. Объем этого тела вычислен в примере 6 при помощи двойного интеграла.
Здесь его вычислим при помощи тройного интеграла по формуле (14).
                          V (Ω) = ∫∫∫ dxdydz .
                                      Ω
Перейдем к повторному интегралу по формуле (15). Пусть D − круг x2 + y2 ≤ 4, φ1(x, y) = 0,
φ2(x, y)= x2 + y2 . Тогда по формуле (15) получим
                                         x2 + y2

                  V (Ω) = ∫∫ dxdy            ∫ dz = ∫∫ ( x
                                                                       2
                                                                           + y 2 ) dxdy .
                          D                  0             D


Этот интеграл вычислили в примере 6 и получили V(Ω) = 8π.
       8) Тело Ω ограничено поверхностями z=y, z= –y, x=0 , x=2, y=1. Вычислить

                                             ∫∫∫           y + z ) dxdydz .
                                                       2
                                                 (x
                                              Ω
       Решение. Тело Ω изображено на рис. 9. Плоскости z = y, z = –y ограничивают тело
соответственно снизу и сверху, плоскости x=0 , x=2 ограничивают тело соответственно сза-
ди и спереди, а плоскость y=1 ограничивает справа. Ω – z-цилиндрическое тело, его проек-
цией D на плоскость хОу является прямоугольник ОАВС. Положим φ1(x, y) = –y, φ2(x, y)= y и
применим формулу (15):
                                                                                       y

                       ∫∫∫          y + z ) dxdydz =               ∫∫ dxdy ∫ ( x
                                2
                           (x                                                               2
                                                                                                y + z ) dz =
                        Ω                                              D             −y
                                         y                                                          2      1
                      ⎛         z2 ⎞
           = ∫∫ dxdy ⎜⎜ x 2 yz + ⎟⎟ =              ∫∫ 2 x              y dxdy = 2 ∫ dx ∫ x 2 y 2 dy =
                                                                   2       2

             D        ⎝         2 ⎠ −y             D                                                0      0

                                2             1                2                                2
                                y3      2 2      2 x3                                                   16
                         = 2∫ x     dx = ∫ x dx = ⋅
                                     2
                                                                                                    =      .
                            0
                                3 0     30       3 3                                            0
                                                                                                         9

       12. Переход к цилиндрическим координатам в тройном интеграле.
       Пусть в координатной плоскости xOy введена полярная система координат так, что
луч Оr совпадает с полуосью Оx. Цилиндрическими координатами точки М называются три
числа r, φ, z, где r, φ – полярные координаты проекции Мz точки М на плоскость xOy, z –
аппликата точки М (рис. 10). Для точек оси Оz координата φ не определена. Декартовы коор-
динаты x, y, z выражаются через цилиндрические координаты по формулам
                           x = r cos ϕ ,   y = r sin ϕ ,   z = z.

Страницы