Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

13
Пусть при переходе к цилиндрическим координатам тело Ω преобразуется в тело Ω
ц
.
Тогда имеет место формула
.),sin,cos(),,(
ц
∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩ
= dzrdrdzrrfdxdydzzyxf
ϕϕϕ
(16)
Переход к повторному интегралу в цилиндрических координатах.
Рассмотрим
z-цилиндрическое тело Ω из рисунка 8. Пусть при переходе к цилиндри-
ческим координатам множества
Ω и D преобразуются соответственно в Ω
ц
и D
ц
. Тогда
∫∫∫∫ ∫∫
Ω
=
)sin,cos(
)sin,cos(
2
1
.),sin,cos(),,(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
rr
rrD
dzzrrfrdrddxdydzzyxf
ц
(17)
Пример. 9) Вычислить интеграл
∫∫∫
Ω
+ dxdydzzxy )(
по телу
Ω, ограниченному поверхностями z = 0, x
2
+ y
2
= 4, z = x
2
+ y
2
.
Решение. Тело
Ω изображено на рис. 7. По формуле (16) имеем
∫∫∫∫∫∫
ΩΩ
+=+=
ц
.)sincos()( dzrdrdzrrdxdydzzxyI
ϕϕϕ
Перейдем к повторному интегралу по формуле (17). Областью
D
ц
является круг
{(
r,φ): r ≤ 2, 0≤φ≤2π}. Так как φ
1
(x, y) ≡ 0, то φ
1
(rcosφ, rsinφ) ≡ 0. Так как φ
2
(x, y) ≡ x
2
+ y
2
, то
φ
2
(rcosφ, rsinφ)= (rcosφ)
2
+(rsinφ)
2
=r
2
. Следовательно, по формуле (17) получим
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅=+=
∫∫∫∫ ∫
ϕϕϕϕϕϕ
drd
z
zrrdzzrrdrdI
r
DD
r
2
2
0
2
2
0
2
цц
2
sincos)sincos(
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫∫
ц
2
sincos
5
5
D
drd
r
r
ϕϕϕ
∫∫
=+
π
ϕϕϕ
2
0
2
0
5
)5.0sin(cos drrd
Рисунок 10 Рисунок 11 Рисунок 12 
                                                 13




         Рисунок 10                Рисунок 11                              Рисунок 12

       Пусть при переходе к цилиндрическим координатам тело Ω преобразуется в тело Ωц .
Тогда имеет место формула

                 ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ , r sin ϕ , z)rdrdϕdz .                      (16)
                  Ω                       Ωц

      Переход к повторному интегралу в цилиндрических координатах.
      Рассмотрим z-цилиндрическое тело Ω из рисунка 8. Пусть при переходе к цилиндри-
ческим координатам множества Ω и D преобразуются соответственно в Ωц и Dц. Тогда

                                                ϕ 2 ( r cos ϕ, r sin ϕ )
          ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫ rdrdϕ               ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ , z )dz.          (17)
           Ω                         Dц         ϕ1 ( r cos ϕ, r sin ϕ )

       Пример. 9) Вычислить интеграл
                                       ∫∫∫
                                        Ω
                                           ( xy + z ) dxdydz

по телу Ω, ограниченному поверхностями z = 0, x2 + y2 = 4, z = x2 + y2 .
      Решение. Тело Ω изображено на рис. 7. По формуле (16) имеем

          I=   ∫∫∫
                Ω
                   ( xy + z ) dxdydz = ∫∫∫ ( r cos ϕ r sinϕ + z ) rdrd ϕ dz .
                                       Ω  ц
Перейдем к повторному интегралу по формуле (17). Областью Dц является круг
{(r,φ): r ≤ 2, 0≤φ≤2π}. Так как φ1(x, y) ≡ 0, то φ1(rcosφ, rsinφ) ≡ 0. Так как φ2(x, y) ≡ x2 + y2, то
φ2(rcosφ, rsinφ)= (rcosφ)2 +(rsinφ)2=r2. Следовательно, по формуле (17) получим
                                                                                          r2
                      r2
                                                        ⎛ 2                 z2 ⎞
     I = ∫∫ rdrd ϕ ∫ ( r cos ϕ sin ϕ + z ) dz = ∫∫ r ⋅ ⎜⎜ r cos ϕ sin ϕ z +
                           2
                                                                               ⎟ drd ϕ =
         Dц        0                            Dц      ⎝                   2 ⎟⎠
                                                                                 0

                ⎛ 5               r5 ⎞                 2π                             2
         =   ∫∫ ⎜
                ⎜
             Dц ⎝
                  r cos ϕ sin ϕ +
                                  2
                                     ⎟⎟ drd ϕ =
                                      ⎠
                                                        ∫ (cos ϕ sin ϕ + 0.5) dϕ ∫ r
                                                                                          5
                                                                                              dr =
                                                        0                             0

Страницы