ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
14
.
3
32
2
sin
3
32
6
sinsin
2
0
2
2
0
6
2
0
π
π
ϕ
πϕϕ
π
π
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫
r
d
13. Переход к сферическим координатам в тройном интеграле.
Сферическими координатами точки М называются три числа r, φ, θ, где
r = ОМ (r ≥ 0) − расстояние от начала координат до точки М,
φ (0 ≤ φ < 2π) – угол поворота полуоси Ох вокруг О до совпадения ее направления с
направлением вектора
ОМ
z
,
θ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤≤−
22
π
θ
π
– угол поворота вектора ОМ
z
вокруг О до совпадения его направ-
ления с направлением вектора
ОМ (рис. 11).
Декартовы координаты связаны со сферическими координатами формулами
x = rcosφ cosθ, y = rsinφ cosθ, z = rsinθ
Заметим, что
ОМ
2
= x
2
+y
2
+z
2
, поэтому в сферических координатах x
2
+y
2
+z
2
= r
2
.
Пусть при переходе к сферическим координатам тело Ω преобразуется в Ω
с
. Тогда
тройной интеграл (13) преобразуется по формуле
.cos)sin,sinsin,sincos(),,(
2
θϕθθθϕθϕ
ddrdrrrrfdzdxdyzyxf
c
∫∫∫∫∫∫
ΩΩ
=
(18)
Второй интеграл в этой формуле вычисляется переходом к повторному интегралу. Пусть
Ω
с
={( r, φ, θ): φ
1
≤ φ ≤ φ
2
, θ
1
(φ) ≤ θ ≤ θ
2
(φ), r
1
(φ,θ) ≤ r ≤ r
2
(φ,θ)}. Тогда
dzdxdyzyxf
∫∫∫
Ω
),,(
.)sin,cossin,coscos(cos
2
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
2
1
drrrrrfdd
r
r
θθϕθϕθθϕ
ϕ
ϕ
ϕθ
ϕθ
θϕ
θϕ
∫∫ ∫
=
(19)
Пример. 10) Вычислить объем тела Ω, ограниченного поверхностью
(
x
2
+y
2
+z
2
)
2
= a
3
z (a > 0).
Решение. Как замечено выше,
x
2
+ y
2
+ z
2
= r
2
. Поэтому данная поверхность в сфериче-
ских координатах задается уравнением
r
4
= a
3
rsinθ или
.sin
3
θ
ar =
Поскольку a > 0 и r ≥ 0,
то sin
θ ≥ 0, т.е. 0 ≤ θ ≤ π / 2. Так как тело ограничено поверхностью
,sin
3
θ
ar =
то
0 ≤
r ≤
.sin
3
θ
a
В силу того, что координата r точки данной поверхности не зависит от φ,
то
0 ≤ φ ≤ 2π. Таким образом, Ω
с
={( r, φ, θ): 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π / 2, 0 ≤ r ≤
3
sin
θ
a
}.
Следовательно, по формулам (14) и (19) получаем
====Ω
∫∫ ∫ ∫∫∫∫
Ω
3
3
sin
0
3
2
0
2/
0
sin
0
2/
0
2
3
cos2cos)(
θ
ππ
θ
π
θθπθθϕ
a
a
r
ddrrdddxdydzV
.
32
sin
3
2
sinsin
3
2
sincos
3
2
3
2/
0
2
3
2/
0
3
2/
0
3
aa
d
a
d
a
π
θ
π
θθ
π
θθθ
π
π
ππ
=⋅===
∫∫
14
2π
32 ⎛⎜ sin 2ϕ ⎞ 32π
2
⎛ 2π ⎞ r6
= ⎜⎜ ∫ sin ϕ d sin ϕ + π ⎟⎟ ⋅ = +π ⎟ = .
⎝0 ⎠ 6 3 ⎜ 2 ⎟ 3
0 ⎝ 0 ⎠
13. Переход к сферическим координатам в тройном интеграле.
Сферическими координатами точки М называются три числа r, φ, θ, где
r = ОМ (r ≥ 0) − расстояние от начала координат до точки М,
φ (0 ≤ φ < 2π) – угол поворота полуоси Ох вокруг О до совпадения ее направления с
направлением вектора ОМz,
⎛ π π⎞
θ ⎜− ≤ θ ≤ ⎟ – угол поворота вектора ОМz вокруг О до совпадения его направ-
⎝ 2 2⎠
ления с направлением вектора ОМ (рис. 11).
Декартовы координаты связаны со сферическими координатами формулами
x = rcosφ cosθ, y = rsinφ cosθ, z = rsinθ
Заметим, что ОМ = x2+y2+z2 , поэтому в сферических координатах x2+y2+z2 = r2 .
2
Пусть при переходе к сферическим координатам тело Ω преобразуется в Ωс. Тогда
тройной интеграл (13) преобразуется по формуле
∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ sinθ , r sinϕ sinθ , r sinθ )r cosθ drdϕdθ .
2
(18)
Ω Ω c
Второй интеграл в этой формуле вычисляется переходом к повторному интегралу. Пусть
Ωс={( r, φ, θ): φ1 ≤ φ ≤ φ2, θ1(φ) ≤ θ ≤ θ2(φ), r1(φ,θ) ≤ r ≤ r2(φ,θ)}. Тогда
ϕ2 θ 2 (ϕ ) r2 (ϕ ,θ )
2
∫∫∫ f ( x, y, z) dxdydz =
Ω
∫ dϕ ∫ cosθdθ ∫ f (rcosϕ cosθ , rsinϕ cosθ , r sinθ )r dr. (19)
ϕ1 θ1 (ϕ ) r1 (ϕ ,θ )
Пример. 10) Вычислить объем тела Ω, ограниченного поверхностью
(x2+y2 +z2)2 = a3z (a > 0).
Решение. Как замечено выше, x2 + y2 + z2= r2. Поэтому данная поверхность в сфериче-
ских координатах задается уравнением r4 = a3rsinθ или r = a 3 sin θ . Поскольку a > 0 и r ≥ 0,
то sinθ ≥ 0, т.е. 0 ≤ θ ≤ π / 2. Так как тело ограничено поверхностью r = a 3
sin θ , то
0 ≤ r ≤ a 3 sin θ . В силу того, что координата r точки данной поверхности не зависит от φ,
то 0 ≤ φ ≤ 2π. Таким образом, Ωс={( r, φ, θ): 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π / 2, 0 ≤ r ≤ a 3 sin θ }.
Следовательно, по формулам (14) и (19) получаем
3
2π π /2 a 3 sin θ π /2 3 a sin θ
r
V (Ω) = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dϕ ∫ cos θdθ ∫ r 2 dr = 2π ∫ cos θdθ =
Ω 0 0 0 0
3
0
π /2 π /2 π /2
2πa 3 2πa 3 2πa 3 sin 2θ πa 3
=
3 ∫0 cosθ sin θdθ = 3 ∫0 sin θ dsin θ = 3 ⋅ 2 =
3
.
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
