Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 16 стр.

                                                        16

                                                                               n
                                                                        S = ∑ f (t i , s i ) Δl i
                                                                              i =1


                                                   Определение. Предел lim S , если он существует,
                                                                                     δ →0
                                           называется криволинейным интегралом 1-го рода от
                                           функции f (x,y) по кривой L и обозначается
                                                                        ∫ f ( x, y)dl = δlim S.
                                                                        L
                                                                                            →0
                                                                                                    (20)

                                          В случае замкнутой кривой L выбирается произ-
                                  вольная точка на кривой, которая принимается за конце-
                                  вые точки А, В, и криволинейный интеграл 1-го рода оп-
                                  ределяется аналогично случаю незамкнутой кривой.
       Рисунок 13
                                          Теорема (достаточное условие существования ин-
                                  теграла). Если функция f (x,y) непрерывна на кривой L за
исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный ин-
теграл 1-го рода (20) существует.
       Некоторые свойства криволинейного интеграла 1-го рода. Для криволинейных
интегралов 1-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные
свойства для тройного интеграла в п. 10).
                 ∫
       1) ⏐L⏐= dl , где ⏐L⏐− длина кривой L.
                 L
      2) Криволинейный интеграл 1-го рода (20) не зависит от ориентации2 кривой L. Это
         значит, что интеграл не зависит от того, какая из концевых точек А и В является
         начальной точкой кривой.
      Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода. Пусть L − кривая с ли-
нейной плотностью массы μ (х, у). Тогда масса кривой равна
                                             m = ∫ μ ( x, y )dl.                                    (21)
                                                   L
      Замечание. Криволинейный интеграл 1-го рода аналогично определяется и для про-
странственной кривой.

       15. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
       Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
                                 x = ϕ (t), y=ψ (t), α ≤ t ≤β,
где ϕ (t), ψ (t) − непрерывно дифференцируемые на отрезке [α, β ] функции. Тогда
                                       β

                     ∫
                     L
                         f ( x, y)dl = ∫ f (ϕ (t ),ψ (t )) ϕ ′(t ) 2 + ψ ′(t ) 2 dt .
                                       α
                                                                                                    (22)


       Пусть кривая L задана явно уравнением
                                   y=g (x), a≤ x ≤b,
где g (x) − непрерывно дифференцируемая на [a, b] функция. Тогда



2
  Под ориентацией кривой понимается направление обхода кривой. Ориентация незамкнутой кривой задается
указанием начальной и конечной точек. Направление обхода простой замкнутой кривой бывает “по часовой
стрелке” и “против часовой стрелки”