Кратные и криволинейные интегралы. Син Л.И - 15 стр.

                                                                    15


           11) Вычислить интеграл                     ∫∫∫
                                                       Ω
                                                          xydxdydz , где Ω – тело, ограниченное поверхностями

                          x2+y2 +z2=R2, x2+y2 =z2, x=0, y=0 (x≥0, y≥0, z≥0).
           Решение. x + y + z 2 = R 2 − сфера радиуса R с центром в начале координат.
                       2      2

x 2 + y 2 = z 2 − круговой конус с осью Оу, его образующая наклонена к плоскости хОу под уг-
лом π/4. Так как x≥0, y≥0, z≥0, то тело находится в первом октанте (рис. 12).
         Найдем пределы изменения координат φ, θ, r.
         Поскольку проекцией тела Ω является сектор ОАВ, то угол φ меняется в пределах
0 ≤ φ ≤ π ⁄ 2.
         Пусть теперь угол φ из этого промежутка зафиксирован. Тогда точки тела Ω заполня-
ют сектор ОMN , причем отрезок ОM образует с плоскостью хОу угол π / 4, а ОN – угол π / 2.
Следовательно, угол θ меняется в пределах π / 4 ≤ θ ≤ π / 2.
         При фиксированных значениях углов φ и θ из указанных выше промежутков точка те-
ла Ω пробегает отрезок ОР от начала координат О до точки сферы Р. Так как в точке О ко-
ордината r = 0, а в точке Р r = R , то координата r меняется в пределах 0 ≤ r ≤ R .
         Таким образом, Ωс={( r, φ, θ): 0 ≤ φ ≤ π ⁄ 2, π ⁄ 4 ≤ θ ≤ π ⁄ 2, 0 ≤ r ≤ R }. Следовательно,
по формуле (19) получаем

                                      π /2        π /2               R
          ∫∫∫ xydxdydz =               ∫     dϕ       ∫   cos θdθ ∫ r cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r 2 dr =
           Ω                           0          π /4               0

             π /2                      π /2                     R             π /2              π /2
                                        r5        3                      R5                              2
          = ∫ cos ϕ sin ϕ dϕ ∫ cos θ dθ                             =          ∫ sin ϕ d sinϕ    ∫ cos   θ d sinθ =
            0               π /4        5                                5     0                π /4
                                                                0

                           π /2                                                                 π /2
               ⎛ sin 2 ϕ ⎞        π /2                                    ⎛                 ⎞
         R5                                                 R5
                                                                                                             (        )
                                                                                        3
               ⎜         ⎟                    2                           ⎜ sin θ − sin θ   ⎟        R5
       =
               ⎜ 2 ⎟               ∫ (1 − sin  θ ) d sinθ =
                                                                          ⎜                 ⎟
                                                                                                   =     8−5 2 .
         5     ⎝         ⎠0       π /4                      10            ⎝            3    ⎠ π /4   120

        14. Криволинейный интеграл 1-го рода.
        Мы рассмотрим в основном криволинейные интегралы по плоским кривым1. В даль-
нейшем под кривой будем понимать кусочно-гладкую кривую.
        Пусть     L = АВ − незамкнутая кривая в плоскости хОу с концевыми точками А, В;
z=f (x,y) − функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точ-
ками
                                      А0=А, А1, А2, . . . , Аn=В
на дуги δ1= А0А1, δ2= А1А2, . . . , δn= Аn-1Аn.
На дуге δi выберем произвольную точку Мi (ti , si) (i = 1,2, . . . , n) (рис. 13). Обозначим Δli
длину дуги δi , а δ = max Δli .
                                  i
           Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L




1
    Кривая плоская, если все ее точки лежат в одной плоскости.